Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula el punto porcentual (también llamado cuantil o función de distribución acumulada inversa) de una distribución Gamma. A partir de una probabilidad y de los parámetros de la Gamma, devuelve el valor x en el que la función de distribución acumulada (CDF) de la Gamma iguala esa probabilidad. Es la inversa de la CDF de la Gamma y se utiliza ampliamente en ingeniería de fiabilidad, estadística bayesiana, teoría de colas y modelización hidrológica y de precipitaciones.
Cómo usarla
Elige si tu probabilidad es una probabilidad acumulada inferior P (el área a la izquierda de x) o una probabilidad acumulada superior Q (el área a la derecha). Introduce la probabilidad estrictamente entre 0 y 1, el parámetro de forma a (alfa, debe ser mayor que 0) y el parámetro de escala b (theta, debe ser mayor que 0). La media de la Gamma es a por b. Si utilizas una probabilidad superior Q, la calculadora la convierte primero en \(\text{P} = 1 - \text{Q}\) antes de invertir.
La fórmula explicada
La CDF de la Gamma en la parametrización por escala es \(F(x) = P_{\text{reg}}(\text{a}, x/\text{b})\), donde \(P_{\text{reg}}\) es la función gamma incompleta inferior regularizada. Si hacemos \(y = x/\text{b}\), el problema se vuelve independiente de la escala: resolvemos \(P_{\text{reg}}(\text{a}, y) = \text{P}\) y luego devolvemos \(x = \text{b} \cdot y\). La gamma incompleta regularizada se evalúa con un desarrollo en serie para valores pequeños de y y con una fracción continua para valores grandes; la inversión parte de una estimación inicial de Wilson-Hilferty refinada con el método de Newton, con la bisección como recurso de seguridad.
$$\text{P} = \frac{1}{\Gamma(\text{a})}\,\gamma\!\left(\text{a},\ \frac{x}{\text{b}}\right) \quad\Rightarrow\quad x = Q^{-1}$$
Ejemplo resuelto
Tomemos tipo de probabilidad = inferior, probabilidad = 0,95, forma a = 2, escala b = 1. Para \(\text{a} = 2\) la CDF tiene la forma cerrada \(1 - (1 + y)e^{-y}\). Al resolver $$1 - (1 + y)e^{-y} = 0{,}95$$ se obtiene \(y \approx 4{,}7439\), de modo que \(x \approx 4{,}7439\). Si en cambio usamos una escala b = 3, entonces $$x = 3 \times 4{,}7439 = 14{,}2317$$
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si a = 1? La Gamma se reduce a la distribución Exponencial de media b, y el cuantil tiene la forma cerrada exacta \(x = -\text{b} \cdot \ln(1 - \text{P})\).
¿Qué parametrización se utiliza? Forma a y escala b, por lo que la media es a por b. Si dispones de un parámetro de tasa (rate), la escala es \(\text{b} = 1 / \text{tasa}\).
¿Por qué la probabilidad debe estar entre 0 y 1? Exactamente en 0 el cuantil es 0 y exactamente en 1 es infinito, así que solo el intervalo abierto (0, 1) devuelve un resultado finito.
