この計算ツールでできること
このツールは、ガンマ分布のパーセント点（分位点、または逆累積分布関数とも呼ばれます）を求めます。確率とガンマ分布のパラメータを入力すると、ガンマ分布の累積分布関数（CDF）がその確率に等しくなる値 \(x\) を返します。これはガンマ分布の CDF の逆関数にあたり、信頼性工学、ベイズ統計、待ち行列理論、降雨量・水文モデルなど幅広い分野で利用されています。
使い方
まず、入力する確率が下側累積確率 \(P\)（x より左側の面積）か、上側累積確率 \(Q\)（x より右側の面積）かを選びます。確率は 0 より大きく 1 より小さい値で入力し、形状パラメータ \(a\)（アルファ、0 より大きい値）と尺度パラメータ \(b\)（シータ、0 より大きい値）を入力してください。ガンマ分布の平均は \(a \times b\) です。上側確率 \(Q\) を選んだ場合、計算では先に \(P = 1 - Q\) へ変換してから逆変換を行います。
計算式の解説
尺度パラメータ表現におけるガンマ分布の CDF は \(F(x) = P_{\text{reg}}(a,\ x/b)\) で表されます。ここで \(P_{\text{reg}}\) は正則化下側不完全ガンマ関数です。\(y = x/b\) と置くと尺度に依存しない形になり、\(P_{\text{reg}}(a,\ y) = P\) を解いてから \(x = b \times y\) として戻します。正則化不完全ガンマ関数は、\(y\) が小さいときは級数展開、\(y\) が大きいときは連分数で評価します。逆変換では Wilson–Hilferty 近似による初期値をニュートン法で精密化し、安全策として二分法を併用しています。
$$\text{P} = \frac{1}{\Gamma(\text{a})}\,\gamma\!\left(\text{a},\ \frac{x}{\text{b}}\right) \quad\Rightarrow\quad x = Q^{-1}$$
計算例
確率の種類＝下側、確率＝0.95、形状 \(a = 2\)、尺度 \(b = 1\) とします。\(a = 2\) のとき CDF は閉じた形 \(1 - (1 + y)e^{-y}\) で表せます。\(1 - (1 + y)e^{-y} = 0.95\) を解くと \(y \approx 4.7439\) となり、\(x \approx 4.7439\) です。尺度を \(b = 3\) にすると、$$x = 3 \times 4.7439 = 14.2317$$ となります。
よくある質問
a = 1 のときは？ ガンマ分布は平均 \(b\) の指数分布に帰着し、分位点は閉じた形 \(x = -b \times \ln(1 - P)\) で正確に求められます。
どのパラメータ表現を使っていますか？ 形状 \(a\) と尺度 \(b\) による表現で、平均は \(a \times b\) です。レート（率）パラメータをお持ちの場合は、尺度 \(b = 1 \div \text{レート}\) で換算してください。
なぜ確率は 0 と 1 の間でなければならないのですか？ 確率がちょうど 0 のとき分位点は 0、ちょうど 1 のときは無限大になります。そのため有限の値が得られるのは開区間 \((0, 1)\) に限られます。
