Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula el percentil (cuantil) de una distribución lognormal. A partir de una probabilidad acumulada y de los parámetros de la distribución, devuelve el valor x en el que la función de distribución acumulada (CDF) lognormal alcanza esa probabilidad. Se trata de la CDF inversa, también conocida como función cuantil. La distribución lognormal se utiliza con frecuencia para magnitudes positivas y con asimetría a la derecha, como los ingresos, el tamaño de partículas, los precios de las acciones, los tiempos de vida en fiabilidad o las concentraciones biológicas. Es una herramienta matemática universal y funciona exactamente igual en cualquier lugar.
Cómo utilizarla
Elige si tu probabilidad corresponde a la cola inferior P(X ≤ x) o a la cola superior P(X > x). Introduce la probabilidad (estrictamente entre 0 y 1). A continuación, indica los dos parámetros de la distribución normal subyacente de \(\ln(X)\): el parámetro de localización \(\mu\) (la media de \(\ln X\)) y el parámetro de escala \(\sigma\) (la desviación típica de \(\ln X\), que debe ser positiva). Pulsa calcular para obtener el percentil x.
La fórmula explicada
Una variable X es lognormal cuando \(\ln(X)\) sigue una distribución normal con media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma\). Su CDF inferior es $$P(x) = \Phi\!\left( \frac{\ln x - \mu}{\sigma} \right)$$ donde \(\Phi\) es la CDF normal estándar. Al invertirla obtenemos $$x = \exp\!\left( \mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p) \right).$$ Si introduces una probabilidad de cola superior Q, primero la convertimos con \(p = 1 - Q\). El cuantil normal estándar \(\Phi^{-1}\) se evalúa mediante la aproximación racional de Acklam, con una precisión de aproximadamente 1e-9. Ten en cuenta que \(\mu\) y \(\sigma\) describen \(\ln X\), no X en sí; la media de X es \(\exp(\mu + \sigma^2/2)\).
Ejemplo resuelto
Tomemos el modo inferior, probabilidad = 0,975, \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\). Entonces \(p = 0{,}975\) y \(\Phi^{-1}(0{,}975) = 1{,}959964\) (el clásico valor crítico de 1,96). Así que $$x = \exp(0 + 1 \times 1{,}959964) = 7{,}0994.$$ El percentil 97,5 de la lognormal estándar es aproximadamente 7,099.
Preguntas frecuentes
¿Y si uso el modo superior? Si introduces \(Q = 0{,}025\) en el modo superior, obtienes \(p = 1 - 0{,}025 = 0{,}975\) y el mismo \(x \approx 7{,}099\) que en el ejemplo anterior.
¿Cuál es la mediana? Para \(p = 0{,}5\), \(\Phi^{-1}(0{,}5) = 0\), por lo que \(x = \exp(\mu)\). La mediana de una distribución lognormal es \(\exp(\mu)\), independientemente del valor de \(\sigma\).
¿Por qué debe cumplirse \(0 < p < 1\)? A medida que p se acerca a 0, el percentil tiende a 0, y cuando p se aproxima a 1, diverge hacia el infinito, por lo que se rechazan los extremos. El resultado siempre es positivo, ya que se trata de una función exponencial.
