对数正态分布分位数计算器（逆CDF / 分位函数）

输入计算

结果

分位点 x

使对数正态 CDF 等于 P 的取值 x

下尾累积概率 p	0.5
Standard-normal quantile z = Φ⁻¹(p)	0

x = exp(μ + σ · z). Requires 0 < probability < 1 and σ > 0; the result is always positive.

这个计算器有什么用

本工具用于计算对数正态分布的分位点（quantile）。只要给定一个累积概率以及分布的参数，它就能返回使对数正态累积分布函数（CDF）达到该概率的取值 x。这其实就是逆CDF，也常被称为分位函数。对数正态分布广泛应用于那些取值为正、且呈右偏（右拖尾）的量，例如收入水平、颗粒粒径、股票价格、可靠性寿命以及生物浓度等。它是一种通用的数学工具，在任何场景、任何地区的计算结果都完全一致。

使用方法

首先选择你的概率属于哪一种：下尾概率 $\text{P}(X \le x)$，还是上尾概率 $\text{P}(X > x)$。然后输入这个概率值（必须严格介于 0 与 1 之间）。接着填入对 $\ln(X)$ 服从的正态分布的两个参数：位置参数 $\mu$（即 $\ln X$ 的均值），以及尺度参数 $\sigma$（即 $\ln X$ 的标准差，必须为正数）。点击计算，即可得到分位点 x。

公式解析

当 $\ln(X)$ 服从均值为 $\mu$、标准差为 $\sigma$ 的正态分布时，变量 X 就是对数正态分布的。它的下尾 CDF 为 $$P(x) = \Phi\!\left( \frac{\ln x - \mu}{\sigma} \right)$$ 其中 $\Phi$ 是标准正态分布的 CDF。对其求逆可得 $$x = \exp\!\left( \mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p) \right)$$ 如果你输入的是上尾概率 Q，我们会先用 $p = 1 - \text{Q}$ 进行换算。标准正态分位数 $\Phi^{-1}$ 采用 Acklam 有理逼近算法求值，精度约为 $1\text{e-}9$。请注意：$\mu$ 和 $\sigma$ 描述的是 $\ln X$，而非 X 本身；X 的均值为 $\exp(\mu + \sigma^2/2)$。

通过指数变换将正态分位数与对数正态百分位数联系起来的示意图 — 对正态分位数 mu + sigma·z 取指数即可得到对数正态百分位数 x。

对数正态密度曲线，百分位点 x 左侧的面积 p 被阴影标出 — 百分位数 x 是对数正态曲线下累积面积等于 p 的那个点。

实例演算

选择下尾模式，概率 = 0.975，$\mu = 0$，$\sigma = 1$。此时 $p = 0.975$，$\Phi^{-1}(0.975) = 1.959964$（也就是经典的 1.96 临界值）。于是 $$x = \exp(0 + 1 \times 1.959964) = 7.0994$$ 换言之，标准对数正态分布的第 97.5 百分位约为 7.099。