Công cụ này làm gì
Công cụ này tính điểm phân vị (quantile) của một phân phối log-chuẩn. Khi bạn nhập vào một xác suất tích lũy cùng các tham số của phân phối, nó sẽ trả về giá trị x mà tại đó hàm phân phối tích lũy (CDF) của log-chuẩn đạt đúng xác suất đó. Đây chính là hàm CDF nghịch đảo, còn được gọi là hàm phân vị (quantile function). Phân phối log-chuẩn được dùng rất phổ biến cho những đại lượng luôn dương và lệch phải, chẳng hạn như thu nhập, kích thước hạt, giá cổ phiếu, tuổi thọ trong phân tích độ tin cậy hay nồng độ sinh học. Đây là một công cụ toán học mang tính phổ quát và cho kết quả như nhau ở mọi nơi.
Cách sử dụng
Trước tiên, hãy chọn loại xác suất bạn có: xác suất đuôi dưới \(\text{P}(X \le x)\) hay xác suất đuôi trên \(\text{P}(X > x)\). Tiếp theo, nhập giá trị xác suất (phải nằm trong khoảng từ 0 đến 1, không tính hai đầu mút). Sau đó nhập hai tham số của phân phối chuẩn cơ sở của \(\ln(X)\): tham số vị trí mu (trung bình của \(\ln X\)) và tham số tỷ lệ sigma (độ lệch chuẩn của \(\ln X\), bắt buộc phải dương). Nhấn nút tính để nhận được điểm phân vị x.
Giải thích công thức
Một biến X được gọi là log-chuẩn khi \(\ln(X)\) tuân theo phân phối chuẩn với trung bình mu và độ lệch chuẩn sigma. Hàm CDF đuôi dưới của nó là $$\text{P}(x) = \Phi\!\left( \frac{\ln x - \mu}{\sigma} \right)$$ trong đó \(\Phi\) là hàm CDF của phân phối chuẩn tắc. Khi nghịch đảo công thức này, ta được $$x = \exp\!\left( \mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p) \right)$$ Nếu bạn nhập xác suất đuôi trên Q, công cụ sẽ tự chuyển đổi bằng \(p = 1 - \text{Q}\). Hàm phân vị chuẩn tắc \(\Phi^{-1}\) được tính bằng phương pháp xấp xỉ phân thức của Acklam, với độ chính xác khoảng \(1\mathrm{e}{-9}\). Lưu ý rằng mu và sigma mô tả \(\ln X\) chứ không phải X; trung bình của chính X là \(\exp(\mu + \sigma^2/2)\).
Ví dụ minh họa
Hãy chọn chế độ đuôi dưới, với xác suất = 0,975, mu = 0 và sigma = 1. Khi đó \(p = 0{,}975\) và \(\Phi^{-1}(0{,}975) = 1{,}959964\) (chính là giá trị tới hạn 1,96 quen thuộc). Vậy $$x = \exp(0 + 1 \times 1{,}959964) = 7{,}0994$$ Tức là phân vị thứ 97,5 của phân phối log-chuẩn chuẩn tắc xấp xỉ 7,099.
Câu hỏi thường gặp
Nếu tôi dùng chế độ đuôi trên thì sao? Khi nhập Q = 0,025 ở chế độ đuôi trên, công cụ tính \(p = 1 - 0{,}025 = 0{,}975\) và cho ra cùng kết quả \(x \approx 7{,}099\) như ví dụ trên.
Trung vị là bao nhiêu? Với \(p = 0{,}5\), ta có \(\Phi^{-1}(0{,}5) = 0\), nên \(x = \exp(\mu)\). Trung vị của một phân phối log-chuẩn luôn bằng \(\exp(\mu)\), bất kể giá trị sigma là bao nhiêu.
Vì sao phải có \(0 < p < 1\)? Khi p tiến về 0 thì phân vị tiến về 0, còn khi p tiến về 1 thì nó tiến ra vô cực, nên hai đầu mút bị loại bỏ. Kết quả luôn dương vì nó là một hàm mũ.
