Phân phối Laplace là gì?
Phân phối Laplace, còn gọi là phân phối hàm mũ kép (double-exponential), là một phân phối xác suất liên tục đối xứng quanh tâm. Hình dạng của nó giống như hai phân phối mũ đặt lưng vào nhau, tạo ra một đỉnh nhọn (điểm gấp) tại tham số vị trí và phần đuôi dày hơn so với phân phối chuẩn. Phân phối này được dùng rộng rãi trong xử lý tín hiệu, hồi quy bền vững (phương pháp sai số tuyệt đối nhỏ nhất), suy luận Bayes (tiên nghiệm LASSO) và tài chính để mô hình hóa lợi suất có đuôi dày. Đây là một công cụ toán học phổ quát, áp dụng giống hệt nhau ở bất cứ đâu.
Cách sử dụng máy tính
Nhập ba số: x là giá trị của biến ngẫu nhiên; tham số vị trí mu xác định tâm (đồng thời là trung bình và trung vị); và tham số tỷ lệ b bắt buộc phải dương ngặt, có vai trò điều chỉnh độ phân tán. Máy tính sẽ trả về mật độ xác suất \(f(x)\), xác suất tích lũy dưới \(P(X \le x)\) và xác suất tích lũy trên \(P(X > x)\). Hai giá trị tích lũy này luôn cộng lại bằng đúng 1.
Giải thích công thức
Hàm mật độ là $$f(x) = \frac{1}{2\,\text{b}}\exp\!\left(-\frac{\left|\text{x} - \text{μ}\right|}{\text{b}}\right)$$ Hàm tích lũy được định nghĩa theo từng khúc: $$F(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}\exp\!\left(\dfrac{\text{x} - \text{μ}}{\text{b}}\right) & \text{if } \text{x} < \text{μ} \\[1em] 1 - \dfrac{1}{2}\exp\!\left(-\dfrac{\text{x} - \text{μ}}{\text{b}}\right) & \text{if } \text{x} \geq \text{μ} \end{cases}$$ Việc dùng độ lệch tuyệt đối giúp số mũ luôn không dương, nhờ đó hàm \(\exp()\) không bao giờ bị tràn số. Trung bình bằng \(\text{μ}\) và phương sai bằng \(2\text{b}^2\).
Ví dụ minh họa
Giả sử \(x = 1\), \(\text{μ} = 0\), \(\text{b} = 1\). Độ lệch là \(d = 1\). Hàm mật độ: $$f(1) = 0{,}5\cdot\exp(-1) = 0{,}18394$$ Vì \(x \geq \text{μ}\) nên $$F(1) = 1 - 0{,}5\cdot\exp(-1) = 0{,}81606$$ và xác suất tích lũy trên là \(1 - 0{,}81606 = 0{,}18394\).
Câu hỏi thường gặp
Tại sao b phải dương? Tham số tỷ lệ nằm ở mẫu số và bên trong hàm mũ; nếu \(\text{b} \le 0\) thì hàm mật độ không xác định, nên máy tính sẽ kiểm tra và yêu cầu giá trị hợp lệ.
Điều gì xảy ra tại x = mu? Hàm mật độ đạt giá trị đỉnh là \(\frac{1}{2\text{b}}\) và cả hai xác suất tích lũy đều bằng 0,5. Tại điểm này hàm có một đỉnh gấp không khả vi.
Phân phối có đối xứng không? Có. Với mọi t, ta luôn có \(f(\text{μ} + t) = f(\text{μ} - t)\) và \(F(\text{μ} + t) = 1 - F(\text{μ} - t)\).
