Phân phối Weibull là gì?
Phân phối Weibull là một trong những phân phối xác suất liên tục linh hoạt nhất và được xem là nền tảng của kỹ thuật độ tin cậy, phân tích dữ liệu tuổi thọ cũng như mô hình sống sót. Chỉ cần điều chỉnh hai tham số — tham số hình dạng m (còn ký hiệu là k hoặc beta) và tham số tỷ lệ eta (còn gọi là lambda hoặc a, tức tuổi thọ đặc trưng) — phân phối này có thể mô tả tỷ lệ hỏng hóc giảm dần, giữ không đổi hoặc tăng dần theo thời gian. Máy tính này sử dụng dạng 2 tham số tiêu chuẩn (hình dạng và tỷ lệ) với vị trí cố định bằng không, nên miền xác định là \(x \ge 0\).
Cách sử dụng máy tính
Nhập giá trị x mà bạn muốn tính phân phối tại đó (\(x \ge 0\)), tham số hình dạng m (\(> 0\)) và tham số tỷ lệ eta (\(> 0\)). Công cụ sẽ trả về ba kết quả: mật độ xác suất \(f(x)\), xác suất tích lũy dưới \(P(X \le x)\) (chính là CDF), và xác suất tích lũy trên \(P(X > x)\) (hàm sống sót hay hàm độ tin cậy). Lưu ý rằng \(F(x) + R(x)\) luôn bằng 1.
Giải thích các công thức
Đặt \(z = x / \eta\). Hàm mật độ là $$f(x) = \frac{m}{\eta} \cdot z^{m-1} \cdot \exp(-z^{m})$$ Hàm phân phối tích lũy là $$F(x) = 1 - \exp(-z^{m})$$ còn hàm sống sót là $$R(x) = \exp(-z^{m})$$ Tham số hình dạng quyết định cách hoạt động của hàm rủi ro (hazard): khi \(m = 1\), phân phối trở thành phân phối mũ (tỷ lệ hỏng hóc không đổi, kỳ vọng bằng \(\eta\)); khi \(m = 2\) ta được phân phối Rayleigh; và khi \(m\) gần 3,6 thì đường cong xấp xỉ dạng hình chuông của phân phối chuẩn.
Ví dụ minh họa
Lấy \(x = 1{,}5\), \(m = 2\), \(\eta = 1\). Khi đó \(z = 1{,}5\) và \(z^{m} = 2{,}25\), nên \(\exp(-2{,}25) = 0{,}105399\). Xác suất tích lũy trên \(R = 0{,}105399\) và tích lũy dưới $$F = 1 - 0{,}105399 = 0{,}894601$$ Mật độ là $$f = \frac{2}{1} \cdot 1{,}5^{1} \cdot 0{,}105399 = 0{,}316198$$
Câu hỏi thường gặp
Vì sao \(F(\eta)\) luôn xấp xỉ 0,632 với mọi giá trị hình dạng? Khi \(x = \eta\) thì \(z = 1\), do đó \(z^{m} = 1\) và \(F = 1 - e^{-1} = 0{,}6321\), không phụ thuộc vào \(m\). Chính vì vậy \(\eta\) được gọi là tuổi thọ đặc trưng.
Điều gì xảy ra khi \(x < 0\)? Phân phối Weibull 2 tham số có miền xác định \([0, \infty)\), nên tại đó \(f(x) = 0\), \(F(x) = 0\) và \(R(x) = 1\).
Tỷ lệ có cần đơn vị không? Các giá trị đầu vào đều là số thuần túy; \(x\) và \(\eta\) phải dùng cùng một đơn vị (ví dụ giờ), nhưng bản thân phép tính thì không có thứ nguyên.
