什么是拉普拉斯分布？
拉普拉斯分布又称双指数分布，是一种关于中心对称的连续概率分布。它就像把两条指数分布背靠背拼在一起，因此在位置参数处会形成一个尖锐的峰（尖点），而且尾部比正态分布更"厚"。这种分布在信号处理、稳健回归（最小绝对偏差法）、贝叶斯推断（LASSO 先验）以及金融领域（用于刻画具有厚尾特征的收益率）中都有广泛应用。它属于通用的数学工具，在任何地区的计算方式完全一致。
如何使用本计算器
只需输入三个数值：x，即随机变量的取值；位置参数 mu，用于设定分布中心（同时是均值和中位数）；以及尺度参数 b，它必须严格大于 0，用于控制分布的离散程度。计算器会输出概率密度 \(f(x)\)、下侧累积概率 \(P(X \leq x)\) 和上侧累积概率 \(P(X > x)\)。其中两个累积概率之和恒等于 1。
公式解析
概率密度函数为 $$f(x) = \frac{1}{2\,\text{b}}\exp\!\left(-\frac{\left|\text{x} - \text{μ}\right|}{\text{b}}\right)$$ 累积分布函数采用分段形式：$$F(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}\exp\!\left(\dfrac{\text{x} - \text{μ}}{\text{b}}\right) & \text{if } \text{x} < \text{μ} \\[1em] 1 - \dfrac{1}{2}\exp\!\left(-\dfrac{\text{x} - \text{μ}}{\text{b}}\right) & \text{if } \text{x} \geq \text{μ} \end{cases}$$ 采用绝对偏差可以保证指数始终为非正数，因此 \(\exp()\) 不会发生数值溢出。该分布的均值等于 \(\text{μ}\)，方差等于 \(2\text{b}^2\)。
计算示例
设 \(x = 1\)，\(\text{μ} = 0\)，\(\text{b} = 1\)。则偏差 \(d = 1\)。概率密度：$$f(1) = 0.5\cdot\exp(-1) = 0.18394$$ 由于 \(x \geq \text{μ}\)，因此 $$F(1) = 1 - 0.5\cdot\exp(-1) = 0.81606$$ 上侧概率为 \(1 - 0.81606 = 0.18394\)。
常见问题
为什么 b 必须为正数？尺度参数同时出现在分母和指数中；如果 \(\text{b} \leq 0\)，概率密度就没有意义，所以计算器会对其进行校验。
当 x = mu 时会发生什么？此时概率密度达到峰值 \(\frac{1}{2\text{b}}\)，两个累积概率都等于 0.5。函数在该点存在一个不可导的尖点。
这个分布是对称的吗？是的。对任意 \(t\)，都有 \(f(\text{μ} + t) = f(\text{μ} - t)\)，且 \(F(\text{μ} + t) = 1 - F(\text{μ} - t)\)。
