À quoi sert ce calculateur
Cet outil calcule le percentile (ou quantile) d'une loi log-normale. À partir d'une probabilité cumulée et des paramètres de la distribution, il renvoie la valeur x pour laquelle la fonction de répartition (CDF) log-normale atteint cette probabilité. Il s'agit de la CDF inverse, aussi appelée fonction quantile. La loi log-normale est très utilisée pour des grandeurs positives et asymétriques à droite : revenus, tailles de particules, cours boursiers, durées de vie en fiabilité ou concentrations biologiques. C'est un outil mathématique universel qui s'applique de la même manière partout.
Comment l'utiliser
Indiquez d'abord si votre probabilité correspond à la queue inférieure \(\text{P}(X \le x)\) ou à la queue supérieure \(\text{P}(X > x)\). Saisissez ensuite la probabilité (strictement comprise entre 0 et 1). Renseignez enfin les deux paramètres de la loi normale sous-jacente de \(\ln(X)\) : le paramètre de position \(\mu\) (la moyenne de \(\ln X\)) et le paramètre d'échelle \(\sigma\) (l'écart-type de \(\ln X\), qui doit être positif). Cliquez sur Calculer pour obtenir le percentile x.
La formule expliquée
Une variable X suit une loi log-normale lorsque \(\ln(X)\) suit une loi normale de moyenne \(\mu\) et d'écart-type \(\sigma\). Sa CDF inférieure s'écrit $$\text{P}(x) = \Phi\!\left( \frac{\ln x - \mu}{\sigma} \right)$$ où \(\Phi\) désigne la CDF de la loi normale centrée réduite. En inversant, on obtient $$x = \exp\!\left( \mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p) \right)$$ Si vous fournissez une probabilité de queue supérieure Q, on la convertit d'abord par \(p = 1 - \text{Q}\). Le quantile normal standard \(\Phi^{-1}\) est évalué grâce à l'approximation rationnelle d'Acklam, précise à environ 1e-9 près. Attention : \(\mu\) et \(\sigma\) décrivent \(\ln X\), et non X lui-même ; la moyenne de X vaut \(\exp(\mu + \sigma^2/2)\).
Exemple détaillé
Prenons le mode inférieur avec une probabilité = 0,975, \(\mu = 0\) et \(\sigma = 1\). On a alors \(p = 0{,}975\) et \(\Phi^{-1}(0{,}975) = 1{,}959964\) (la fameuse valeur critique 1,96). Donc $$x = \exp(0 + 1 \times 1{,}959964) = 7{,}0994$$ Le 97,5e percentile de la loi log-normale standard vaut environ 7,099.
FAQ
Et si j'utilise le mode supérieur ? Saisir Q = 0,025 en mode supérieur donne \(p = 1 - 0{,}025 = 0{,}975\) et donc le même \(x \approx 7{,}099\) que dans l'exemple ci-dessus.
Que vaut la médiane ? Pour \(p = 0{,}5\), on a \(\Phi^{-1}(0{,}5) = 0\), d'où \(x = \exp(\mu)\). La médiane d'une loi log-normale est égale à \(\exp(\mu)\), quelle que soit la valeur de \(\sigma\).
Pourquoi faut-il que \(0 < p < 1\) ? Lorsque p tend vers 0, le percentile tend vers 0, et lorsque p tend vers 1, il diverge vers l'infini : les bornes sont donc rejetées. Le résultat est toujours positif, car il s'agit d'une exponentielle.
