À quoi sert ce calculateur
Le calculateur graphique de la loi Gamma évalue la loi Gamma sur une grille de valeurs de x et renvoie, en chaque point, trois grandeurs liées : la densité de probabilité f(x), la probabilité cumulée inférieure P(x) et la probabilité cumulée supérieure (fonction de survie) Q(x). La loi Gamma est une distribution continue définie pour x > 0, très utilisée en fiabilité, dans les files d'attente, la modélisation des précipitations et les statistiques bayésiennes. Le calculateur s'appuie sur la paramétrisation par l'échelle (forme a, échelle b), et non par le taux.
Les paramètres à renseigner
- Choix de la fonction — sélectionnez la courbe à calculer : densité f, cumulée inférieure P ou cumulée supérieure Q.
- Paramètre de forme a — doit être strictement positif ; il détermine l'asymétrie et le pic de la courbe.
- Paramètre d'échelle b — doit être strictement positif ; il étire la distribution le long de l'axe des x (moyenne = \(a\cdot b\)).
- Valeur initiale de x — le point de départ de la grille.
- Pas de x (incrément) — l'espacement entre deux valeurs successives de x.
- Nombre de points — combien de points de la grille générer (plafonné à 10 000).
Si a ou b ne sont pas positifs, ils sont ramenés à une valeur infime ; un pas ≤ 0 prend la valeur 0,1 par défaut ; et le nombre de points est ramené dans l'intervalle 1 à 10 000.
La formule
La fonction de densité de probabilité s'écrit :
$$f(x, a, b) = \frac{x^{\,a-1}\,e^{-x/b}}{\Gamma(a)\cdot b^{\,a}}$$La cumulée inférieure P(x) correspond à la fonction gamma incomplète régularisée \(P(a, x/b)\), calculée par développement en série lorsque \(x/b < a+1\), et par fraction continue dans le cas contraire. La cumulée supérieure (survie) vaut \(Q(x) = 1 - P(x)\). La fonction gamma \(\Gamma(a)\) est obtenue via l'approximation de Lanczos sous forme logarithmique, pour garantir la stabilité numérique.
Exemple détaillé
Prenons \(a = 2\), \(b = 1\), x initial = 0, pas = 1 et 4 points (\(x = 0, 1, 2, 3\)). La densité en \(x = 2\) vaut $$f = \frac{2^{1}\cdot e^{-2}}{\Gamma(2)\cdot 1} = \frac{2\cdot 0{,}1353}{1} = 0{,}2707.$$ La cumulée inférieure en \(x = 2\) est \(P(2, 2) \approx 0{,}5940\), d'où la probabilité de survie \(Q(2) \approx 0{,}4060\). Chaque point de la grille fournit ces valeurs, prêtes à être tracées sous forme de courbe lisse.
FAQ
Échelle ou taux ? Ce calculateur utilise le paramètre d'échelle b. Si vous disposez d'un taux λ, posez simplement \(b = 1/\lambda\).
Quelle différence entre P et Q ? \(P(x)\) est la probabilité que la variable soit inférieure ou égale à x (cumul depuis la gauche) ; \(Q(x) = 1 - P(x)\) est la probabilité de dépasser x, souvent appelée fonction de survie.
Pourquoi a et b doivent-ils être positifs ? La loi Gamma n'est définie que pour une forme et une échelle positives. Les valeurs non positives sont remplacées par une valeur quasi nulle pour éviter les erreurs, mais saisissez de vraies valeurs positives pour obtenir des résultats pertinents.
