Что считает этот калькулятор
Калькулятор графика гамма-распределения вычисляет распределение на сетке значений x и для каждой точки возвращает три связанные величины: плотность вероятности \(f(x)\), нижнюю кумулятивную вероятность \(P(x)\) и верхнюю кумулятивную вероятность (функцию выживания) \(Q(x)\). Гамма-распределение — это непрерывное распределение, заданное для \(x > 0\), которое широко применяется в теории надёжности, моделях массового обслуживания, моделировании осадков и байесовской статистике. Калькулятор использует параметризацию через масштаб (форма \(a\), масштаб \(b\)), а не через интенсивность.
Что нужно ввести
- Выбор функции — какую кривую считать: плотность \(f\), нижнюю кумулятивную \(P\) или верхнюю кумулятивную \(Q\).
- Параметр формы \(a\) — должен быть положительным; задаёт асимметрию и форму пика кривой.
- Параметр масштаба \(b\) — должен быть положительным; растягивает распределение вдоль оси x (среднее \(= a\cdot b\)).
- Начальное значение x — стартовая точка сетки.
- Шаг x — расстояние между соседними значениями x.
- Число точек — сколько узлов сетки построить (не более 10 000).
Если \(a\) или \(b\) неположительны, они заменяются на очень малое значение; шаг ≤ 0 заменяется на 0,1; а число точек принудительно приводится к диапазону от 1 до 10 000.
Формула
Функция плотности вероятности:
$$f(x, a, b) = \frac{x^{\,a-1}\,e^{-x/b}}{\Gamma(a)\cdot b^{\,a}}$$
Нижняя кумулятивная вероятность \(P(x)\) — это регуляризованная неполная гамма-функция \(P(a, x/b)\). Она считается через разложение в ряд при \(x/b < a+1\) и через цепную дробь в остальных случаях. Верхняя кумулятивная вероятность (функция выживания) равна \(Q(x) = 1 - P(x)\). Гамма-функция \(\Gamma(a)\) вычисляется по приближению Ланцоша в логарифмической форме — это обеспечивает численную устойчивость.
Разбор примера
Пусть \(a = 2\), \(b = 1\), начальное \(x = 0\), шаг \(= 1\) и 4 точки (\(x = 0, 1, 2, 3\)). Плотность в точке \(x = 2\) равна $$f = \frac{2^{1}\cdot e^{-2}}{\Gamma(2)\cdot 1} = \frac{2\cdot 0{,}1353}{1} = 0{,}2707.$$ Нижняя кумулятивная вероятность в \(x = 2\) составляет \(P(2, 2) \approx 0{,}5940\), поэтому вероятность выживания \(Q(2) \approx 0{,}4060\). Для каждого узла сетки калькулятор возвращает эти значения — их сразу можно отобразить в виде плавной кривой.
Частые вопросы
Используется масштаб или интенсивность? Используется параметр масштаба \(b\). Если у вас задана интенсивность \(\lambda\), подставьте \(b = 1/\lambda\).
Чем отличаются P и Q? \(P(x)\) — это вероятность того, что величина не превышает x (накопление слева); \(Q(x) = 1 - P(x)\) — вероятность превысить x, которую часто называют функцией выживания.
Почему a и b обязаны быть положительными? Гамма-распределение определено только для положительных формы и масштаба. Неположительные значения заменяются на величину, близкую к нулю, чтобы избежать ошибок, но для осмысленного результата нужно вводить корректные положительные числа.
