Что делает этот калькулятор
Инструмент вычисляет значения и строит график распределения Стьюдента (t-распределения) при любом числе степеней свободы \(\nu > 0\). Можно выбрать одну из трёх величин: плотность вероятности \(f(x,\nu)\), нижнюю кумулятивную вероятность \(P(x,\nu)\) (функцию распределения, CDF) или верхнюю кумулятивную вероятность \(Q(x,\nu) = 1 - P\). Калькулятор формирует таблицу пар (x, значение) по заданному вами диапазону и выводит их на линейный график.
Как пользоваться
Выберите функцию (плотность, нижнюю или верхнюю вероятность). Укажите число степеней свободы \(\nu\). Затем задайте начальное значение x, шаг между соседними точками и количество повторений (сколько точек построить). Точки вычисляются по формуле \(x_k = \text{startX} + k\cdot\text{stepX}\) для \(k = 0..\text{iterations}-1\). При значениях по умолчанию (начало \(-5\), шаг 0,1, 101 точка) x пробегает диапазон от \(-5\) до \(+5\).
Разбор формулы
Плотность задаётся выражением $$f(x,\nu) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1+\frac{x^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$ Чтобы сохранить численную устойчивость при больших \(\nu\), гамма-множители вычисляются через логарифм гамма-функции (log-gamma). Кумулятивная вероятность использует регуляризованную неполную бета-функцию \(I_z(\nu/2, 1/2)\) при \(z = \nu/(\nu+x^{2})\): при \(x \ge 0\) имеем \(P = 1 - \tfrac{1}{2}I_z\); при \(x < 0\) — \(P = \tfrac{1}{2}I_z\). В силу симметрии \(P(0,\nu) = 0{,}5\).
Пример расчёта
Плотность при \(\nu = 2\) и \(x = 0\): \((1 + 0/2)^{-1{,}5} = 1\), а \(B(1/2, 1) = 2\), поэтому $$f(0,2) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 2} = 0{,}353553$$ Для нижней кумулятивной вероятности при \(\nu = 2\) и \(x = 0\) распределение симметрично, поэтому \(P(0,2) = 0{,}5\) и \(Q(0,2) = 0{,}5\).
Частые вопросы
Что происходит при росте \(\nu\)? Распределение Стьюдента стремится к стандартному нормальному \(N(0,1)\); например, \(f(0,\nu)\) приближается к \(1/\sqrt{2\pi} \approx 0{,}39894\).
Может ли шаг быть отрицательным? Да. Отрицательный шаг заставляет x убывать; нулевой шаг повторяет одно и то же значение x.
Почему \(\nu\) должно быть положительным? Множители \(\sqrt{\nu}\) и \(\Gamma(\nu/2)\) требуют \(\nu > 0\); при неположительных значениях распределение не определено.
