이 계산기의 기능
감마분포 그래프 계산기는 여러 x 값으로 이루어진 구간 전체에서 감마분포를 계산하여, 각 지점마다 서로 연관된 세 가지 값을 돌려줍니다. 바로 확률밀도 f(x), 하측누적확률 P(x), 그리고 상측누적확률(생존함수) Q(x)입니다. 감마분포는 x > 0에서 정의되는 연속분포로, 신뢰성 공학, 대기행렬 모형, 강수량 모델링, 베이즈 통계 등에서 폭넓게 쓰입니다. 이 계산기는 비율(rate) 모수가 아니라 척도(scale) 모수 방식, 즉 형상모수 \(a\)와 척도모수 \(b\)를 사용합니다.
입력값
- 함수 선택 — 계산할 곡선을 고릅니다: 확률밀도 f, 하측누적확률 P, 상측누적확률 Q 중에서 선택합니다.
- 형상모수 \(a\) — 양수여야 하며, 곡선의 비대칭도와 정점 위치를 결정합니다.
- 척도모수 \(b\) — 양수여야 하며, 분포를 x축 방향으로 늘리거나 줄입니다(평균 = \(a\cdot b\)).
- x 시작값 — 구간의 시작 지점입니다.
- x 증가폭(간격) — 연속된 x 값 사이의 간격입니다.
- 반복 횟수(점 개수) — 생성할 격자점의 개수입니다(최대 10,000개).
\(a\)나 \(b\)가 양수가 아니면 0에 가까운 아주 작은 값으로 보정되고, 증가폭이 0 이하이면 0.1로 기본 설정되며, 점 개수는 1~10,000 범위로 강제 조정됩니다.
계산 공식
확률밀도함수는 다음과 같습니다.
$$f(x) = \frac{x^{\,a-1}\,e^{-x/b}}{b^{\,a}\,\Gamma(a)}$$
하측누적확률 P(x)는 정규화 불완전감마함수 \(P(a, x/b)\)이며, \(x/b < a+1\)일 때는 급수 전개로, 그 외에는 연분수로 계산합니다. 상측누적확률(생존함수)은 \(Q(x) = 1 - P(x)\)입니다. 감마함수 \(\Gamma(a)\)는 수치 안정성을 위해 란초시(Lanczos) 근사를 로그 형태로 적용해 구합니다.
계산 예시
\(a = 2\), \(b = 1\), x 시작값 = 0, 증가폭 = 1, 점 개수 4개(\(x = 0, 1, 2, 3\))인 경우를 살펴보겠습니다. \(x = 2\)에서의 확률밀도는 $$f = \frac{2^{1}\cdot e^{-2}}{\Gamma(2)\cdot 1} = \frac{2\cdot 0.1353}{1} = 0.2707$$ 입니다. \(x = 2\)에서의 하측누적확률은 \(P(2, 2) \approx 0.5940\)이므로, 생존확률은 \(Q(2) \approx 0.4060\)이 됩니다. 각 격자점마다 이 값들이 계산되어, 매끄러운 곡선으로 바로 그릴 수 있습니다.
자주 묻는 질문
척도(scale)와 비율(rate) 중 무엇을 쓰나요? 이 계산기는 척도모수 \(b\)를 사용합니다. 만약 비율 \(\lambda\)만 알고 있다면 \(b = 1/\lambda\)로 입력하면 됩니다.
P와 Q는 어떻게 다른가요? P(x)는 변수가 x 이하일 확률(왼쪽부터 누적)이고, \(Q(x) = 1 - P(x)\)는 x를 초과할 확률로 흔히 생존함수라고 부릅니다.
a와 b는 왜 반드시 양수여야 하나요? 감마분포는 형상모수와 척도모수가 양수일 때만 정의되기 때문입니다. 양수가 아닌 값은 오류를 막기 위해 0에 가까운 값으로 대체되지만, 의미 있는 결과를 얻으려면 반드시 올바른 양수를 입력해야 합니다.
