À quoi sert ce calculateur
La loi log-normale décrit une variable aléatoire positive dont le logarithme naturel suit une loi normale. Si ln(x) suit une loi normale de moyenne \(\mu\) et d'écart-type \(\sigma\), alors x suit une loi log-normale. Ce calculateur évalue l'une des trois fonctions sur une plage de valeurs de x que vous choisissez, puis vous renvoie un tableau facile à lire ou à tracer : la densité de probabilité f(x), la probabilité cumulée inférieure P(x) (la fonction de répartition), ou la probabilité cumulée supérieure \(Q(x) = 1 - P(x)\).
Mode d'emploi
Choisissez la fonction à tracer, puis saisissez la moyenne \(\mu\) et l'écart-type \(\sigma\) de ln(x). Indiquez la valeur de départ de x (valeur initiale de x), le pas entre deux valeurs successives de x, et le nombre de points. Le calculateur évalue la fonction en \(x_i = x_{\text{initial}} + i \times \text{pas}\) pour \(i = 0, 1, \ldots, \text{nombre}-1\) et dresse le tableau de chaque couple (x, valeur). Sigma doit être strictement positif et x ne doit pas être négatif ; en x = 0, la densité et la probabilité cumulée inférieure valent 0, tandis que la probabilité cumulée supérieure vaut 1.
La formule expliquée
La densité s'écrit $$f(x) = \frac{1}{x\,\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{\left(\ln x - \mu\right)^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right),\quad x>0$$ La probabilité cumulée est $$P(x) = \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$ où \(\Phi\) désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, \(\Phi(z) = \frac{1}{2}(1 + \operatorname{erf}(z/\sqrt{2}))\). La probabilité cumulée supérieure (fonction de survie) est $$Q(x) = 1 - \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1-\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$ Nous utilisons une approximation rationnelle de la fonction erf à haute précision (erreur maximale d'environ \(1{,}5\times10^{-7}\)).
Exemple concret
Avec \(\mu = 0\) et \(\sigma = 1\) en x = 1 : \(z = (\ln 1 - 0)/1 = 0\). Densité \(= 1/\sqrt{2\pi} \approx 0{,}39894228\). Probabilité cumulée inférieure \(P = \Phi(0) = 0{,}5\). Probabilité cumulée supérieure \(Q = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\). En x = 2 : \(z = \ln 2 \approx 0{,}6931\), ce qui donne \(f \approx 0{,}156874\), \(P \approx 0{,}75568\) et \(Q \approx 0{,}24432\).
FAQ
\(\mu\) et \(\sigma\) sont-ils la moyenne et l'écart-type de x ? Non — ce sont la moyenne et l'écart-type de ln(x), la variable normale sous-jacente, et non ceux de x lui-même.
Que se passe-t-il en x = 0 ? La loi log-normale n'est définie que pour \(x > 0\) ; on pose donc \(f(0) = 0\), \(P(0) = 0\) et \(Q(0) = 1\) afin d'éviter ln(0).
Pourquoi \(\sigma\) doit-il être strictement positif ? Un écart-type nul ou négatif ne correspond à aucune loi cohérente et entraînerait une division par zéro ; le calculateur refuse donc toute valeur \(\sigma \le 0\).
