この計算ツールでできること
対数正規分布は、自然対数をとると正規分布に従うような正の確率変数を表す分布です。つまり ln(x) が平均 μ、標準偏差 σ の正規分布に従うとき、x は対数正規分布に従います。本ツールでは、指定した x の範囲について次の3つの関数のいずれかを計算し、読み取りやすい表（グラフ化も可能）として出力します。確率密度 \(f(x)\)、下側累積確率 \(P(x)\)（累積分布関数）、上側累積確率 \(Q(x) = 1 - P(x)\) です。
使い方
まず描画する関数を選び、ln(x) の平均 \(\mu\) と標準偏差 \(\sigma\) を入力します。続いて開始する x の値（x の初期値）、x の刻み幅（増分）、点の個数を指定してください。本ツールは \(x_i = \text{初期値} + i \times \text{刻み幅}\)（\(i = 0, 1, \ldots, \text{個数}-1\)）の各点で関数を計算し、(x, 値) の組を表にまとめます。\(\sigma\) は正の値、x は0以上である必要があります。x = 0 のとき、確率密度と下側累積確率は0、上側累積確率は1になります。
計算式の解説
確率密度は $$f(x) = \frac{1}{x\,\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{\left(\ln x - \mu\right)^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right),\quad x>0$$ で表されます。累積確率は $$P(x) = \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$ で、ここで \(\Phi\) は標準正規分布の累積分布関数 \(\Phi(z) = \frac{1}{2}(1 + \operatorname{erf}(z/\sqrt{2}))\) です。上側累積確率（生存関数）は $$Q(x) = 1 - \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1-\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$ となります。erf には高精度の有理関数近似（最大誤差およそ \(1.5\times10^{-7}\)）を用いています。
計算例
\(\mu = 0\)、\(\sigma = 1\) のとき、x = 1 では \(z = (\ln 1 - 0)/1 = 0\) です。確率密度は \(1/\sqrt{2\pi} \approx 0.39894228\)、下側累積確率 \(P = \Phi(0) = 0.5\)、上側累積確率 \(Q = 1 - 0.5 = 0.5\) となります。x = 2 では \(z = \ln 2 \approx 0.6931\) で、\(f \approx 0.156874\)、\(P \approx 0.75568\)、\(Q \approx 0.24432\) になります。
よくある質問
μ と σ は x の平均・標準偏差ですか？いいえ。これらは x そのものではなく、もとの正規変数である ln(x) の平均と標準偏差です。
x = 0 のときはどうなりますか？対数正規分布は \(x > 0\) でのみ定義されます。そのため ln(0) を避けるため、\(f(0) = 0\)、\(P(0) = 0\)、\(Q(0) = 1\) としています。
なぜ σ は正でなければならないのですか？標準偏差が0以下では分布として意味をなさず、0除算も生じてしまいます。そのため本ツールでは \(\sigma \le 0\) を受け付けません。
