這個計算器的功能
逆卡方百分點計算器會在已知累積機率與自由度的情況下，求出卡方分配的分位數 \(x\)。換句話說，它解的是反累積分配函數（反 CDF），所得結果即是假設檢定、信賴區間與適合度（goodness-of-fit）分析中所使用的臨界值。這屬於通用的純數學運算，無論在哪個國家、地區，計算方式完全相同。
使用方式
先選擇累積模式。若你的機率 \(P\) 為 \(P(X \le x)\)（即 \(x\) 左側的面積），請選擇左尾；若你的機率 \(Q\) 為 \(P(X > x)\)（即 \(x\) 右側的面積，也是臨界值最常用的形式），請選擇右尾。接著輸入介於 0 到 1 之間的機率，再輸入自由度（\(\nu\)），自由度必須為正數。計算器即會回傳對應的 \(x\) 值。
計算公式
自由度為 \(\nu\) 的卡方分配 CDF 為 \(F(x;\ \nu) = P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right)\)，其中 \(P\) 為正規化下不完全 Gamma 函數。在左尾情況下，我們求解 $$x = F^{-1}\!\left(\text{P};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = \text{P}$$ 在右尾情況下，則令 \(p_{\text{eff}} = 1 - Q\)，再求解 $$x = F^{-1}\!\left(1 - \text{Q};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = 1 - \text{Q}$$ 此方程式以數值方法反算，透過穩健的括弧二分法（bracketing bisection）針對 \(g(x) = F(x) - p_{\text{eff}}\) 求根。
實例演算
以右尾、\(Q = 0.05\)、\(\nu = 10\) 為例。此時 \(p_{\text{eff}} = 1 - 0.05 = 0.95\)，因此我們求解 \(F(x;\ 10) = 0.95\)，亦即 \(\text{regularizedGammaP}(5,\ x/2) = 0.95\)。其根為 \(x \approx 18.307\)，正是自由度為 10、右尾 5% 水準下大家熟悉的卡方臨界值。
常見問題
這裡的自由度是什麼意思？它是卡方分配的形狀參數 \(\nu\)；換算成 Gamma 分配時，對應的形狀參數為 \(\nu/2\)、尺度參數為 2。
左尾與右尾有何差別？左尾使用的是 \(x\) 左側的面積，右尾使用的是 \(x\) 右側的面積。臨界值對照表通常列出的是右尾機率。
為什麼 \(x\) 會等於 0 或變得非常大？當有效的左尾機率趨近於 0 時，\(x\) 會趨近於 0；當它趨近於 1 時，\(x\) 則會無限增大。
