平行六面體體積計算器

輸入計算

a · x

a · y

a · z

b · x

b · y

b · z

c · x

c · y

c · z

結果

平行六面體體積

1

立方單位

純量三重積 a · (b × c)	1
體積 = |a · (b × c)|	1

什麼是平行六面體？

平行六面體是由六個平行四邊形面所構成的立體圖形。它可以用從同一個頂點延伸出來的三條邊向量 a、b 與 c 完整描述。正方體與長方體（直角六面體）都是平行六面體的特例，差別只在於它們的各邊彼此互相垂直。

平行六面體由共享同一頂點的三個稜向量 a、b、c 構成。

如何使用這個計算器

分別輸入三條邊向量的 x、y、z 分量。計算器會先計算 b 與 c 的外積（叉積），再與 a 做內積（點積），最後取絕對值。所得結果即為以立方單位表示的體積。

公式解析

體積等於純量三重積的大小：

$$V = \left| \, \text{a}_x(\text{b}_y\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_y) - \text{a}_y(\text{b}_x\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_x) + \text{a}_z(\text{b}_x\,\text{c}_y - \text{b}_y\,\text{c}_x) \, \right|$$

外積 \(b \times c\) 會產生一個垂直於底面平行四邊形的向量，其長度恰好等於該底面的面積。再與 a 做內積，相當於把它投影到高的方向，因此乘積就等於「底面積 × 高」——正好是體積。取絕對值則確保不論向量方向如何，答案都是正值。換個角度看，三重積也等於以三條向量為列所組成的 3×3 矩陣的行列式值。

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叉積 b × c 給出底面積，與 a 的點積投影出高——兩者共同構成體積。

範例演算

設 \(a = (2, 0, 0)\)、\(b = (0, 3, 0)\)、\(c = (0, 0, 4)\)。首先計算

$$b \times c = (3\cdot4 - 0\cdot0,\; 0\cdot0 - 0\cdot4,\; 0\cdot0 - 3\cdot0) = (12, 0, 0)$$

接著

$$a \cdot (12, 0, 0) = 2\cdot12 = 24$$

體積為 \(|24| = 24\) 立方單位——這與長方體 \(2 \times 3 \times 4 = 24\) 的結果完全吻合。

常見問題

如果體積算出來是零，代表什麼？體積為零表示這三條向量共平面（線性相依），因此無法圍出一個立體。

向量的順序會影響結果嗎？調換向量順序可能會改變三重積的正負號，但由於我們取的是絕對值，體積並不會改變。

可以用來算正方體嗎？可以——只要輸入長度相等且彼此垂直的邊向量即可，例如 \((s,0,0)\)、\((0,s,0)\)、\((0,0,s)\) 就會得到 \(s^3\)。