ما هو متوازي السطوح؟
متوازي السطوح مجسّم ثلاثي الأبعاد تتكوّن سطوحه الستة من متوازيات أضلاع. ويمكن وصفه وصفًا كاملًا بثلاثة متجهات حواف هي a وb وc تنطلق جميعها من رأس واحد مشترك. ويُعدّ المكعّب وصندوق الأبعاد المستطيلة (متوازي المستطيلات) حالتين خاصتين من متوازي السطوح تكون فيهما الحواف متعامدة فيما بينها.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل المركّبات x وy وz لكل متجه من متجهات الحواف الثلاثة. تحسب الأداة الضرب الاتجاهي (المنتج الاتجاهي) للمتجهين b وc، ثم تأخذ ضربه القياسي (المنتج القياسي) مع a، وأخيرًا تُرجِع القيمة المطلقة للناتج. والنتيجة هي الحجم مُقدّرًا بالوحدات المكعّبة.
شرح المعادلة
يُعطى الحجم بمقدار المنتج الثلاثي القياسي:
$$V = \left| \, \text{a}_x(\text{b}_y\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_y) - \text{a}_y(\text{b}_x\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_x) + \text{a}_z(\text{b}_x\,\text{c}_y - \text{b}_y\,\text{c}_x) \, \right|$$أي \(V = |a \cdot (b \times c)|\). فالضرب الاتجاهي \(b \times c\) يُنتج متجهًا عموديًا على متوازي الأضلاع القاعدي، ويساوي مقداره مساحة تلك القاعدة. وعند ضرب هذا المتجه قياسيًا بالمتجه a فإننا نُسقطه على اتجاه الارتفاع، فيصبح الناتج مساوياً لمساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع — أي الحجم بالضبط. أما القيمة المطلقة فتضمن أن يكون الجواب موجبًا بغضّ النظر عن اتجاه المتجهات. وبصورة مكافئة، يساوي المنتج الثلاثي محدِّد المصفوفة 3×3 التي تُمثّل صفوفها المتجهات الثلاثة.
مثال محلول
لنأخذ \(a = (2, 0, 0)\)، و \(b = (0, 3, 0)\)، و \(c = (0, 0, 4)\). أولًا نحسب $$b \times c = (3\cdot4 - 0\cdot0,\ 0\cdot0 - 0\cdot4,\ 0\cdot0 - 3\cdot0) = (12, 0, 0).$$ ثم \(a \cdot (12, 0, 0) = 2\cdot12 = 24\). ويكون الحجم \(|24| = 24\) وحدة مكعّبة — وهو يطابق تمامًا صندوقًا أبعاده \(2 \times 3 \times 4 = 24\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يعني أن يكون الحجم صفرًا؟ الحجم الصفري يعني أن المتجهات الثلاثة تقع في مستوٍ واحد (مترابطة خطيًا)، وبالتالي لا يمكنها أن تُحيط بمجسّم.
هل يؤثّر ترتيب المتجهات؟ قد تؤدي إعادة ترتيب المتجهات إلى عكس إشارة المنتج الثلاثي، لكن بما أننا نأخذ القيمة المطلقة فإن الحجم يبقى دون تغيير.
هل يمكن استخدامها لحساب حجم مكعّب؟ نعم — أدخِل متجهات حواف متعامدة ومتساوية الطول، فمثلًا \((s,0,0)\) و\((0,s,0)\) و\((0,0,s)\) يعطي \(s^3\).
