什么是平行六面体？
平行六面体是一种由六个平行四边形面围成的三维立体。它可以由从同一顶点出发的三条棱向量 a、b、c 完全确定。我们熟悉的正方体和长方体（长方体即"矩形盒子"）都是平行六面体的特例——此时三条棱两两互相垂直。
如何使用本计算器
分别填入三条棱向量的 x、y、z 三个分量。计算器会先求出 b 与 c 的叉积，再与 a 作点积，最后取绝对值。所得结果就是以立方单位表示的体积。
公式详解
体积等于标量三重积的大小：\( V = |a \cdot (b \times c)| \)。叉积 \( b \times c \) 得到一个垂直于底面平行四边形的向量，其模长恰好等于该底面的面积。再与 a 作点积，相当于把 a 投影到高的方向上，于是这个乘积就等于"底面积 × 高"，也正是体积。取绝对值则保证无论向量方向如何，结果始终为正。换个角度看，这个三重积等于以三条向量为行所构成的 3×3 矩阵的行列式。
$$ V = \left| \, \text{a}_x(\text{b}_y\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_y) - \text{a}_y(\text{b}_x\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_x) + \text{a}_z(\text{b}_x\,\text{c}_y - \text{b}_y\,\text{c}_x) \, \right| $$
计算实例
设 \( a = (2, 0, 0) \)，\( b = (0, 3, 0) \)，\( c = (0, 0, 4) \)。第一步求叉积： $$ b \times c = (3\cdot4 - 0\cdot0,\ 0\cdot0 - 0\cdot4,\ 0\cdot0 - 3\cdot0) = (12, 0, 0) $$ 第二步求点积： $$ a \cdot (12, 0, 0) = 2\cdot12 = 24 $$ 于是体积为 \( |24| = 24 \) 立方单位——这与长方体 \( 2 \times 3 \times 4 = 24 \) 的结果完全一致。
常见问题
如果体积等于零怎么办？体积为零说明三条向量共面（线性相关），它们无法围成一个立体。
向量的顺序会影响结果吗？调换向量的顺序可能会改变三重积的正负号，但由于我们最终取绝对值，体积保持不变。
能用它来算正方体吗？当然可以——只需输入长度相等且两两垂直的棱向量即可，例如 \( (s,0,0) \)、\( (0,s,0) \)、\( (0,0,s) \)，得到的体积就是 \( s^3 \)。
