Что такое параллелепипед?
Параллелепипед — это объёмная фигура, ограниченная шестью гранями, каждая из которых представляет собой параллелограмм. Полностью задать его можно тремя векторами рёбер a, b и c, выходящими из одной вершины. Куб и прямоугольный параллелепипед (брус) — это частные случаи, когда рёбра взаимно перпендикулярны.
Как пользоваться калькулятором
Введите координаты x, y и z для каждого из трёх векторов рёбер. Калькулятор сначала находит векторное произведение b и c, затем берёт его скалярное произведение с вектором a и в конце возвращает модуль результата. Полученное значение — это объём в кубических единицах.
Разбор формулы
Объём равен модулю смешанного произведения: \(V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|\). Векторное произведение b × c даёт вектор, перпендикулярный основанию-параллелограмму, причём его длина численно равна площади этого основания. Скалярное умножение на a проецирует его на направление высоты — поэтому произведение равно площади основания, умноженной на высоту, то есть в точности объёму. Модуль гарантирует, что ответ будет положительным при любой ориентации векторов. Эквивалентно: смешанное произведение — это определитель матрицы 3×3, строками которой служат три вектора.
$$V = \left| \, \text{a}_x(\text{b}_y\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_y) - \text{a}_y(\text{b}_x\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_x) + \text{a}_z(\text{b}_x\,\text{c}_y - \text{b}_y\,\text{c}_x) \, \right|$$
Разбор примера
Возьмём \(\mathbf{a} = (2, 0, 0)\), \(\mathbf{b} = (0, 3, 0)\), \(\mathbf{c} = (0, 0, 4)\). Сначала найдём \(\mathbf{b} \times \mathbf{c} = (3\cdot4 - 0\cdot0,\ 0\cdot0 - 0\cdot4,\ 0\cdot0 - 3\cdot0) = (12, 0, 0)\). Затем \(\mathbf{a} \cdot (12, 0, 0) = 2\cdot12 = 24\). Объём равен \(|24| = 24\) кубическим единицам, что совпадает с расчётом для бруса: \(2 \times 3 \times 4 = 24\).
Частые вопросы
Что означает нулевой объём? Нулевой объём говорит о том, что три вектора лежат в одной плоскости (линейно зависимы), а значит, не могут ограничить тело.
Важен ли порядок векторов? Перестановка векторов может изменить знак смешанного произведения, но поскольку мы берём модуль, объём остаётся прежним.
Подойдёт ли калькулятор для куба? Да. Введите перпендикулярные векторы рёбер одинаковой длины, например (s,0,0), (0,s,0), (0,0,s) — получится \(s^3\).
