Hình hộp xiên là gì?
Hình hộp xiên (parallelepiped) là một khối ba chiều được tạo thành từ sáu mặt hình bình hành. Khối này được mô tả đầy đủ bởi ba vectơ cạnh a, b và c cùng xuất phát từ một đỉnh. Hình lập phương và hình hộp chữ nhật chỉ là những trường hợp đặc biệt của hình hộp xiên, khi các cạnh vuông góc với nhau từng đôi một.
Cách sử dụng máy tính
Bạn chỉ cần nhập các thành phần x, y và z của từng vectơ trong ba vectơ cạnh. Máy tính sẽ tính tích có hướng của b và c, sau đó lấy tích vô hướng với a, và cuối cùng trả về giá trị tuyệt đối. Kết quả chính là thể tích, tính theo đơn vị khối.
Giải thích công thức
Thể tích bằng độ lớn của tích hỗn tạp:
$$V = \left| \, \text{a}_x(\text{b}_y\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_y) - \text{a}_y(\text{b}_x\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_x) + \text{a}_z(\text{b}_x\,\text{c}_y - \text{b}_y\,\text{c}_x) \, \right|$$\(V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|\). Tích có hướng \(\mathbf{b} \times \mathbf{c}\) cho ra một vectơ vuông góc với mặt đáy hình bình hành, có độ lớn đúng bằng diện tích mặt đáy đó. Khi nhân vô hướng với a, ta chiếu vectơ này lên phương chiều cao, nên kết quả bằng diện tích đáy nhân với chiều cao — chính là thể tích. Việc lấy giá trị tuyệt đối đảm bảo đáp số luôn dương, bất kể hướng của các vectơ. Một cách tương đương, tích hỗn tạp chính là định thức của ma trận 3×3 có ba hàng là ba vectơ.
Ví dụ minh họa
Lấy \(\mathbf{a} = (2, 0, 0)\), \(\mathbf{b} = (0, 3, 0)\), \(\mathbf{c} = (0, 0, 4)\). Trước tiên,
$$\mathbf{b} \times \mathbf{c} = (3\cdot 4 - 0\cdot 0,\; 0\cdot 0 - 0\cdot 4,\; 0\cdot 0 - 3\cdot 0) = (12, 0, 0).$$Tiếp theo, \(\mathbf{a} \cdot (12, 0, 0) = 2\cdot 12 = 24\). Vậy thể tích là \(|24| = 24\) đơn vị khối — đúng bằng kết quả của hình hộp chữ nhật \(2 \times 3 \times 4 = 24\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu thể tích bằng 0 thì sao? Thể tích bằng 0 nghĩa là ba vectơ đồng phẳng (phụ thuộc tuyến tính), nên chúng không thể tạo thành một khối đặc.
Thứ tự các vectơ có quan trọng không? Đổi thứ tự các vectơ có thể làm đổi dấu tích hỗn tạp, nhưng vì ta lấy giá trị tuyệt đối nên thể tích không thay đổi.
Có dùng được cho hình lập phương không? Có — chỉ cần nhập ba vectơ cạnh vuông góc và có độ dài bằng nhau, ví dụ \((s,0,0)\), \((0,s,0)\), \((0,0,s)\) sẽ cho ra \(s^3\).
