Paralelyüz nedir?
Paralelyüz, altı paralelkenar yüzeyden oluşan üç boyutlu bir cisimdir. Tek bir köşeden çıkan üç kenar vektörü olan a, b ve c ile tamamen tanımlanabilir. Küp ve dikdörtgenler prizması, kenarların birbirine dik olduğu özel paralelyüz biçimleridir.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Üç kenar vektörünün her birinin x, y ve z bileşenlerini girin. Araç önce b ile c'nin vektörel çarpımını hesaplar, ardından sonucun a ile skaler çarpımını alır ve son olarak mutlak değeri döndürür. Çıkan sonuç, hacmi küp birim cinsinden verir.
Formülün açıklaması
Hacim, skaler üçlü çarpımın büyüklüğüyle bulunur:
$$V = \left| \, \text{a}_x(\text{b}_y\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_y) - \text{a}_y(\text{b}_x\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_x) + \text{a}_z(\text{b}_x\,\text{c}_y - \text{b}_y\,\text{c}_x) \, \right|$$\(b \times c\) vektörel çarpımı, taban paralelkenarına dik bir vektör üretir; bu vektörün büyüklüğü tabanın alanına eşittir. a ile yapılan skaler çarpım ise bu vektörü yükseklik doğrultusuna izdüşürür; böylece çarpım taban alanı × yükseklik, yani tam olarak hacim olur. Mutlak değer, vektörlerin yönü ne olursa olsun sonucun pozitif kalmasını sağlar. Bunun bir başka eşdeğeri de, satırları bu üç vektör olan 3×3 matrisin determinantıdır.
Çözümlü örnek
\(a = (2, 0, 0)\), \(b = (0, 3, 0)\), \(c = (0, 0, 4)\) olsun. Önce $$b \times c = (3\cdot4 - 0\cdot0,\ 0\cdot0 - 0\cdot4,\ 0\cdot0 - 3\cdot0) = (12, 0, 0).$$ Ardından $$a \cdot (12, 0, 0) = 2\cdot12 = 24.$$ Hacim \(|24| = 24\) küp birim olur; bu da \(2 \times 3 \times 4 = 24\) olan prizma hacmiyle birebir örtüşür.
Sıkça sorulan sorular
Hacim sıfır çıkarsa ne anlama gelir? Sıfır hacim, üç vektörün aynı düzlemde (doğrusal bağımlı) olduğunu gösterir; dolayısıyla bir cisim oluşturamazlar.
Vektörlerin sırası önemli mi? Vektörlerin sırasını değiştirmek üçlü çarpımın işaretini ters çevirebilir; ancak mutlak değer aldığımız için hacim değişmez.
Küp için de kullanabilir miyim? Evet — eşit uzunlukta ve birbirine dik kenar vektörleri girin; örneğin \((s,0,0)\), \((0,s,0)\), \((0,0,s)\) sonucu \(s^3\) verir.
