平行六面体とは？
平行六面体とは、6つの平行四辺形の面で囲まれた立体のことです。1つの頂点から伸びる3本の辺ベクトルa・b・cによって完全に表すことができます。立方体や直方体は、3辺が互いに直交する特別な平行六面体だと考えられます。
この計算ツールの使い方
3つの辺ベクトルそれぞれについて、x・y・zの各成分を入力してください。ツールはまずbとcの外積を求め、次にその結果とaの内積を計算し、最後に絶対値をとります。得られた値が体積（立方単位）です。
計算式の解説
体積はスカラー三重積の大きさで求められます：$$V = \left| \, \text{a}_x(\text{b}_y\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_y) - \text{a}_y(\text{b}_x\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_x) + \text{a}_z(\text{b}_x\,\text{c}_y - \text{b}_y\,\text{c}_x) \, \right|$$ 外積 \(\text{b} \times \text{c}\) は底面の平行四辺形に垂直なベクトルを生み、その大きさは底面積に等しくなります。これとaの内積をとることで高さ方向への射影が得られるため、結果は「底面積 × 高さ」、つまり体積そのものになります。絶対値をとるのは、ベクトルの向きに関わらず答えを正の値にするためです。なお、この三重積は3つのベクトルを各行に並べた3×3行列の行列式とも一致します。
計算例
\(\text{a} = (2, 0, 0)\)、\(\text{b} = (0, 3, 0)\)、\(\text{c} = (0, 0, 4)\) としてみましょう。まず $$\text{b} \times \text{c} = (3\cdot4 - 0\cdot0,\ 0\cdot0 - 0\cdot4,\ 0\cdot0 - 3\cdot0) = (12, 0, 0)$$ 次に \(\text{a}\cdot(12, 0, 0) = 2\cdot12 = 24\)。体積は \(\left|24\right| = 24\) 立方単位となり、直方体の \(2 \times 3 \times 4 = 24\) と一致します。
よくある質問
体積が0になるのはなぜ？ 体積が0になる場合、3つのベクトルが同一平面上にある（一次従属である）ことを意味します。そのため立体を作ることができません。
ベクトルの順序は関係ありますか？ ベクトルの順序を入れ替えると三重積の符号が反転することがありますが、絶対値をとるため体積の値は変わりません。
立方体にも使えますか？ はい。長さの等しい直交する辺ベクトル、たとえば \((s,0,0)\)・\((0,s,0)\)・\((0,0,s)\) を入力すれば \(s^3\) が得られます。
