Qu'est-ce qu'un parallélépipède ?
Un parallélépipède est un solide à trois dimensions délimité par six faces en forme de parallélogramme. On peut le décrire entièrement à l'aide de trois vecteurs d'arête a, b et c issus d'un même sommet. Le cube et le pavé droit (parallélépipède rectangle) en sont des cas particuliers, où les arêtes sont perpendiculaires deux à deux.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les composantes x, y et z de chacun des trois vecteurs d'arête. Le calculateur effectue le produit vectoriel de b et c, calcule ensuite le produit scalaire avec a, puis renvoie la valeur absolue. Le résultat correspond au volume, exprimé en unités cubiques.
La formule expliquée
Le volume est égal à la valeur absolue du produit mixte : \(V = |a \cdot (b \times c)|\). Le produit vectoriel \(b \times c\) donne un vecteur perpendiculaire au parallélogramme de base, dont la norme est égale à l'aire de cette base. Le produit scalaire avec a projette ce vecteur dans la direction de la hauteur ; le produit obtenu vaut donc aire de la base × hauteur, c'est-à-dire exactement le volume. La valeur absolue garantit un résultat positif, quelle que soit l'orientation des vecteurs. De façon équivalente, le produit mixte est le déterminant de la matrice 3×3 dont les lignes sont les trois vecteurs.
$$V = \left| \, \text{a}_x(\text{b}_y\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_y) - \text{a}_y(\text{b}_x\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_x) + \text{a}_z(\text{b}_x\,\text{c}_y - \text{b}_y\,\text{c}_x) \, \right|$$
Exemple résolu
Prenons \(a = (2, 0, 0)\), \(b = (0, 3, 0)\), \(c = (0, 0, 4)\). D'abord, $$b \times c = (3 \cdot 4 - 0 \cdot 0,\ 0 \cdot 0 - 0 \cdot 4,\ 0 \cdot 0 - 3 \cdot 0) = (12, 0, 0).$$ Ensuite, $$a \cdot (12, 0, 0) = 2 \cdot 12 = 24.$$ Le volume vaut \(|24| = 24\) unités cubiques, ce qui correspond bien au pavé \(2 \times 3 \times 4 = 24\).
FAQ
Que signifie un volume nul ? Un volume égal à zéro indique que les trois vecteurs sont coplanaires (linéairement dépendants) : ils ne peuvent donc pas délimiter un solide.
L'ordre des vecteurs a-t-il une importance ? Permuter les vecteurs peut inverser le signe du produit mixte, mais comme on en prend la valeur absolue, le volume reste inchangé.
Puis-je l'utiliser pour un cube ? Oui : saisissez des vecteurs d'arête perpendiculaires et de même longueur. Par exemple, \((s,0,0)\), \((0,s,0)\), \((0,0,s)\) donne \(s^3\).
