逆卡方分布分位点计算器（卡方临界值求解）

输入计算

结果

分位点（x）

18.307038

卡方分位数

分布	卡方分布（逆 CDF）

这个计算器的用途

逆卡方分位点计算器可以在已知累积概率和自由度的情况下，求出卡方分布的分位数 $x$。换句话说，它求解的是逆累积分布函数（逆 CDF），返回假设检验、置信区间和拟合优度分析中常用的临界值。这属于通用的纯数学计算，在任何国家和地区都完全适用，结果一致。

卡方密度曲线，阴影显示下尾面积 p 和分位点 x — 百分点 $x$ 是卡方曲线下方下尾面积等于概率 $p$ 时的取值。

使用方法

先选择累积概率的类型。如果你的概率 $P$ 表示 $P(X \le x)$（即 $x$ 左侧的面积），请选择下尾；如果你的概率 $Q$ 表示 $P(X > x)$（即 $x$ 右侧的面积，这也是临界值最常见的形式），请选择上尾。然后输入 0 到 1 之间的概率值，再填入自由度（$\nu$），自由度必须为正数。计算器即可返回对应的分位数 $x$。

计算公式

自由度为 $\nu$ 的卡方分布 CDF 为 $F(x; \nu) = P\!\left(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{x}{2}\right)$，其中 $P$ 是正则化下不完全伽马函数。对于下尾，我们求解：

$$x = F^{-1}\!\left(\text{P};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = \text{P}$$

对于上尾，令 $p_{\text{eff}} = 1 - Q$，再求解：

$$x = F^{-1}\!\left(1 - \text{Q};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = 1 - \text{Q}$$

该方程通过对 $g(x) = F(x) - p_{\text{eff}}$ 进行稳健的区间二分法（bracketing bisection）来数值反演求解。

实例演示

取上尾，$Q = 0.05$，$\nu = 10$。则 $p_{\text{eff}} = 1 - 0.05 = 0.95$，于是求解 $F(x; 10) = 0.95$，即 $\text{regularizedGammaP}(5, x/2) = 0.95$。其根为 $x \approx 18.307$，这正是自由度为 10、5% 上尾水平下我们所熟知的卡方临界值。