¿Qué es la distribución uniforme continua?
La distribución uniforme continua U(a, b) describe una variable aleatoria que tiene la misma probabilidad de tomar cualquier valor dentro del intervalo que va de a a b. Como la probabilidad se reparte de forma homogénea, su densidad de probabilidad es una constante plana sobre todo el soporte y vale cero fuera de él. Esta calculadora es matemática pura y funciona exactamente igual en cualquier lugar: no incluye contenido regional ni depende de la legislación de ningún país.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el punto de evaluación x, el límite inferior a y el límite superior b (con a ≤ b). La herramienta devuelve tres valores: la densidad de probabilidad f(x), la probabilidad acumulada inferior P(X ≤ x) y la probabilidad acumulada superior (complementaria) \(P(X > x) = Q\). Las dos probabilidades acumuladas suman siempre 1.
La fórmula explicada
Llamemos w = b - a a la anchura del intervalo. Dentro del intervalo la densidad es constante:
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\text{b} - \text{a}} & \text{a} \le \text{x} \le \text{b} \\[0.6em] 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$para a ≤ x ≤ b, y f(x) = 0 fuera de él. La función de distribución crece de forma lineal:
$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{x} < \text{a} \\[0.6em] \dfrac{\text{x} - \text{a}}{\text{b} - \text{a}} & \text{a} \le \text{x} \le \text{b} \\[0.6em] 1 & \text{x} > \text{b} \end{cases}$$para a ≤ x ≤ b, vale 0 por debajo de a y vale 1 por encima de b. La cola superior es simplemente:
$$P(X > x) = 1 - \dfrac{\text{x} - \text{a}}{\text{b} - \text{a}}$$La anchura debe ser positiva (b > a); cuando a = b la densidad queda indefinida por una división entre cero y la distribución degenera en un único punto.
Ejemplo resuelto
Tomemos x = 2, a = 1, b = 4. La anchura es \(w = 4 - 1 = 3\). Como 1 ≤ 2 ≤ 4, el valor x está dentro del soporte. La densidad es \(f(2) = 1/3 \approx 0{,}3333\). La probabilidad acumulada inferior es \(F(2) = (2 - 1)/3 = 1/3 \approx 0{,}3333\), y la superior es \(Q(2) = (4 - 2)/3 = 2/3 \approx 0{,}6667\). Como comprobación, \(F + Q = 1/3 + 2/3 = 1\).
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre cuando x está fuera de [a, b]? La densidad es exactamente 0. Si x < a, entonces F(x) = 0 y Q(x) = 1; si x > b, entonces F(x) = 1 y Q(x) = 0.
¿Por qué b tiene que ser mayor que a? La densidad es \(1/(b - a)\). Si a = b, el denominador es cero, así que la densidad continua queda indefinida; ese caso corresponde a una masa puntual degenerada y no a una distribución continua.
¿El resultado es un porcentaje? No. Todos los resultados son adimensionales. Las probabilidades acumuladas están entre 0 y 1; multiplica por 100 si quieres expresarlas como porcentaje.
