Что такое непрерывное равномерное распределение?
Непрерывное равномерное распределение U(a, b) описывает случайную величину, которая с одинаковой вероятностью может принять любое значение из интервала от a до b. Поскольку вероятность распределена равномерно, плотность остаётся постоянной на всём отрезке и равна нулю за его пределами. Этот калькулятор основан исключительно на математике и работает одинаково в любой стране — никаких региональных или юридических особенностей здесь нет.
Как пользоваться калькулятором
Введите точку расчёта x, нижнюю границу a и верхнюю границу b (при условии a ≤ b). Калькулятор выдаёт три значения: плотность вероятности \(f(x)\), нижнюю накопленную вероятность \(P(X \le x)\) и верхнюю (дополнительную) накопленную вероятность \(P(X > x) = Q\). Сумма двух накопленных вероятностей всегда равна 1.
Разбор формулы
Обозначим ширину интервала как \(w = b - a\). Внутри отрезка плотность постоянна:
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\text{b} - \text{a}} & \text{a} \le \text{x} \le \text{b} \\[0.6em] 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$то есть \(f(x) = 1/w\) при a ≤ x ≤ b и \(f(x) = 0\) за его пределами. Функция распределения растёт линейно:
$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{x} < \text{a} \\[0.6em] \dfrac{\text{x} - \text{a}}{\text{b} - \text{a}} & \text{a} \le \text{x} \le \text{b} \\[0.6em] 1 & \text{x} > \text{b} \end{cases}$$то есть \(F(x) = (x - a)/w\) при a ≤ x ≤ b, равна 0 левее a и равна 1 правее b. Верхний хвост вычисляется просто:
$$P(X > x) = 1 - \dfrac{\text{x} - \text{a}}{\text{b} - \text{a}}$$Ширина должна быть положительной (b > a); при a = b плотность не определена из-за деления на ноль, а распределение вырождается в одну точку.
Пример с решением
Пусть x = 2, a = 1, b = 4. Ширина равна \(w = 4 - 1 = 3\). Так как 1 ≤ 2 ≤ 4, точка x лежит внутри отрезка. Плотность: \(f(2) = 1/3 \approx 0{,}3333\). Нижняя накопленная вероятность: \(F(2) = (2 - 1)/3 = 1/3 \approx 0{,}3333\), а верхняя: \(Q(2) = (4 - 2)/3 = 2/3 \approx 0{,}6667\). Проверка: \(F + Q = 1/3 + 2/3 = 1\).
Частые вопросы
Что будет, если x находится вне отрезка [a, b]? Плотность равна ровно 0. Если x < a, то \(F(x) = 0\) и \(Q(x) = 1\); если x > b, то \(F(x) = 1\) и \(Q(x) = 0\).
Почему b должно быть больше a? Плотность равна \(1/(b - a)\). При a = b знаменатель обращается в ноль, поэтому непрерывная плотность не определена; этот случай соответствует вырожденной точечной массе, а не непрерывному распределению.
Является ли результат процентом? Нет. Все значения безразмерны. Накопленные вероятности лежат в диапазоне от 0 до 1; чтобы получить проценты, умножьте результат на 100.
