Sürekli düzgün dağılım nedir?
Sürekli düzgün dağılım U(a, b), a ile b arasındaki bir aralıkta her değeri eşit olasılıkla alabilen bir rastgele değişkeni tanımlar. Olasılık aralık boyunca eşit dağıldığı için, olasılık yoğunluğu tanım kümesi üzerinde sabit (düz) bir değer alır ve bunun dışında her yerde sıfırdır. Bu araç tamamen matematikseldir ve her yerde aynı şekilde geçerlidir — herhangi bir bölgeye veya ülkeye özgü bir içerik barındırmaz.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Değerlendirme noktası x, alt sınır a ve üst sınır b değerlerini girin (\(a \le b\) koşuluyla). Araç üç değer döndürür: olasılık yoğunluğu \(f(x)\), alt kümülatif olasılık \(P(X \le x)\) ve üst (tümleyici) kümülatif olasılık \(P(X > x) = Q\). İki kümülatif olasılığın toplamı her zaman 1'e eşittir.
Formülün açıklaması
Aralığın genişliğini \(w = b - a\) olarak tanımlayalım. Aralığın içinde yoğunluk sabittir:
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b - a} & a \le x \le b \\[0.6em] 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$Kümülatif dağılım doğrusal olarak artar:
$$F(x) = \begin{cases} 0 & x < a \\[0.6em] \dfrac{x - a}{b - a} & a \le x \le b \\[0.6em] 1 & x > b \end{cases}$$Üst kuyruk ise basitçe
$$P(X > x) = 1 - \dfrac{x - a}{b - a}$$şeklindedir. Genişliğin pozitif olması gerekir (\(b > a\)); \(a = b\) olduğunda sıfıra bölme nedeniyle yoğunluk tanımsız hale gelir ve dağılım tek bir noktaya indirgenir.
Çözümlü örnek
\(x = 2\), \(a = 1\), \(b = 4\) değerlerini ele alalım. Genişlik \(w = 4 - 1 = 3\) olur. \(1 \le 2 \le 4\) olduğundan, x tanım kümesinin içindedir. Yoğunluk \(f(2) = 1/3 \approx 0{,}3333\)'tür. Alt kümülatif olasılık \(F(2) = (2 - 1)/3 = 1/3 \approx 0{,}3333\), üst kümülatif olasılık ise \(Q(2) = (4 - 2)/3 = 2/3 \approx 0{,}6667\) olur. Kontrol olarak: \(F + Q = 1/3 + 2/3 = 1\).
Sıkça Sorulan Sorular
x değeri [a, b] aralığının dışındaysa ne olur? Yoğunluk tam olarak 0'dır. Eğer \(x < a\) ise \(F(x) = 0\) ve \(Q(x) = 1\); eğer \(x > b\) ise \(F(x) = 1\) ve \(Q(x) = 0\) olur.
b neden a'dan büyük olmalıdır? Yoğunluk \(1/(b - a)\) ile hesaplanır. \(a = b\) olursa payda sıfır olur ve sürekli yoğunluk tanımsız hale gelir; bu durum sürekli bir dağılım değil, dejenere (tekil) bir nokta kütlesidir.
Sonuç bir yüzde değeri mi? Hayır. Tüm çıktılar boyutsuzdur. Kümülatif olasılıklar 0 ile 1 arasında yer alır; yüzde olarak görmek isterseniz 100 ile çarpın.
