¿Qué es la distribución de Lévy?
La distribución de Lévy es una distribución de probabilidad continua de colas pesadas, definida para valores mayores que un parámetro de localización mu. Cuenta con dos parámetros: el parámetro de localización mu, que desplaza el punto donde comienza el soporte, y el parámetro de escala c (que debe ser positivo), que estira la distribución. Es una distribución estable y aparece en la física (tiempos de primer paso en el movimiento browniano), en las finanzas y en el estudio de la difusión anómala. Un detalle llamativo es que tanto su media como su varianza son infinitas, por lo que esta herramienta ofrece la densidad y las probabilidades acumuladas en lugar de los momentos resumen habituales.
Cómo usar esta calculadora
Elige qué curva quieres mostrar: la función de densidad de probabilidad \(f\), la probabilidad acumulada inferior \(P\) o la probabilidad acumulada superior \(Q\). Introduce el parámetro de localización mu y un parámetro de escala c positivo. A continuación, define el rango de \(x\) que deseas evaluar mediante un valor inicial, un incremento (paso) y un número de puntos. La calculadora evalúa \(x\) en cada punto, muestra \(f\), \(P\) y \(Q\) en el primer valor de \(x\) y traza la función seleccionada como una curva a lo largo de todo el rango.
La fórmula explicada
Sea \(s = x - \text{mu}\). Para \(s > 0\), la densidad es $$f(x) = \sqrt{\frac{c}{2\pi}} \cdot \frac{e^{-\frac{c}{2s}}}{s^{3/2}}$$ La distribución acumulada inferior es $$P(x) = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{\frac{c}{2s}}\right)$$ donde erfc es la función de error complementaria, y la función superior (de supervivencia) es $$Q(x) = 1 - P(x) = \operatorname{erf}\!\left(\sqrt{\frac{c}{2s}}\right)$$ Para \(x\) igual o menor que mu no hay masa de probabilidad, de modo que \(f = 0\), \(P = 0\) y \(Q = 1\). La función de error se calcula con la aproximación racional 7.1.26 de Abramowitz y Stegun.
Ejemplo resuelto
Con \(\text{mu} = 0\), \(c = 1\) y \(x = 1\): \(s = 1\), por lo que $$f = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \cdot e^{-0{,}5} = 0{,}398942 \cdot 0{,}606531 \approx 0{,}24197$$ El argumento \(z = \sqrt{1/2} = 0{,}70711\), \(\operatorname{erf}(z) \approx 0{,}68269\), así que \(P = \operatorname{erfc}(z) \approx 0{,}31731\) y \(Q \approx 0{,}68269\): los valores estándar de Lévy(0,1).
Preguntas frecuentes
¿Por qué c debe ser mayor que 0? El parámetro de escala determina la dispersión de la distribución; un valor de c no positivo deja la densidad indefinida, por eso la calculadora exige que \(c > 0\).
¿Qué ocurre cuando x es menor que mu? La distribución no tiene soporte en esa zona, por lo que \(f = 0\), la probabilidad acumulada inferior \(P = 0\) y la probabilidad acumulada superior \(Q = 1\).
¿Por qué no se muestran la media ni la varianza? La distribución de Lévy tiene colas tan pesadas que su media y su varianza divergen hacia el infinito, por lo que no se ofrece ningún momento resumen finito.
