レヴィ分布とは
レヴィ分布は、位置パラメータ μ より大きい値に対して定義される、裾の重い連続型確率分布です。パラメータは2つあり、台（分布が始まる位置）をずらす位置パラメータ μ と、分布の広がりを決める尺度パラメータ c（正の値である必要があります）です。安定分布の一種であり、物理学（ブラウン運動の初到達時間）、金融、異常拡散の研究などに登場します。特徴的なのは、平均も分散もともに無限大になる点で、そのためこのツールでは要約統計量ではなく、確率密度と累積確率を表示します。
このツールの使い方
まず表示する曲線を選びます。確率密度関数 f、下側累積確率 P、上側累積確率 Q のいずれかです。次に位置パラメータ μ と、正の尺度パラメータ c を入力します。続いて評価する x の範囲を、開始値・刻み幅（増分）・点数で指定します。ツールは各点で x を評価し、最初の x における f・P・Q の値を出力するとともに、選択した関数を範囲全体にわたる曲線としてグラフに描画します。
計算式の解説
s = x − μ とおきます。s > 0 のとき、確率密度は $$f(\text{x}) = \sqrt{\frac{\text{c}}{2\pi}} \cdot \frac{e^{-\frac{\text{c}}{2\left(\text{x} - \text{mu}\right)}}}{\left(\text{x} - \text{mu}\right)^{3/2}}$$ で与えられます。下側累積分布は $$\begin{gathered} P(\text{x}) = \operatorname{erfc}\!\left(z\right) \\[1.5em] \text{where}\quad z = \sqrt{\frac{\text{c}}{2\left(\text{x} - \text{mu}\right)}} \end{gathered}$$ で、ここで erfc は相補誤差関数です。上側（生存）関数は $$\begin{gathered} Q(\text{x}) = \operatorname{erf}\!\left(z\right) \\[1.5em] \text{where}\quad z = \sqrt{\frac{\text{c}}{2\left(\text{x} - \text{mu}\right)}} \end{gathered}$$ となります。\(x\) が μ 以下の場合は確率質量が存在しないため、\(f = 0\)、\(P = 0\)、\(Q = 1\) となります。誤差関数は Abramowitz & Stegun の 7.1.26 の有理式近似を用いて計算しています。
計算例
μ = 0、c = 1、x = 1 の場合：\(s = 1\) なので、$$f = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \cdot e^{-0.5} = 0.398942 \cdot 0.606531 \approx 0.24197$$ となります。引数 \(z = \sqrt{1/2} = 0.70711\) で、\(\operatorname{erf}(z) \approx 0.68269\) ですから、\(P = \operatorname{erfc}(z) \approx 0.31731\)、\(Q \approx 0.68269\) となります。これは標準的なレヴィ分布 Lévy(0,1) の値です。
よくある質問
なぜ c は 0 より大きくなければならないのですか？ 尺度パラメータは分布の広がりを決めるものです。c が 0 以下だと密度が定義できなくなるため、このツールでは \(c > 0\) を必須としています。
x が μ より小さい場合はどうなりますか？ その範囲では分布の台が存在しないため、\(f = 0\)、下側累積確率 \(P = 0\)、上側累積確率 \(Q = 1\) となります。
なぜ平均や分散が表示されないのですか？ レヴィ分布は裾が非常に重いため、平均も分散も無限大に発散してしまいます。そのため有限の要約統計量は表示されません。
