這個計算機的功能
本工具會針對給定的尺度參數 b，在你指定的數值 x 處計算指數分配（Exponential Distribution）。計算結果共有三項：機率密度 \(f(x)\)、左尾（下方）累積機率 \(P(X \le x)\)，以及右尾（上方）累積機率 \(P(X > x)\)。指數分配屬於通用數學，在世界各地的定義完全相同，常用來描述等候時間、產品壽命，以及獨立隨機事件之間的間隔。
使用方式
輸入一個非負的百分位數值 x，以及一個嚴格大於零的尺度參數 b，即可讀取三項計算結果。這裡的 b 是尺度參數，等於分配的平均數；而速率參數則為 \(\lambda = 1/b\)。如果你的教科書採用速率參數來表示，只要在輸入前先換算成 \(b = 1/\lambda\) 即可。
公式說明
當 \(x \ge 0\) 且 \(b > 0\) 時：
- 機率密度：$$f(x) = \frac{1}{b}\, e^{-x/b}$$
- 左尾累積機率（CDF）：$$P(X \le x) = 1 - e^{-x/b}$$
- 右尾累積機率（存活函數）：$$P(X > x) = e^{-x/b}$$
由於存活項 \(e^{-x/b}\) 只需計算一次便可重複使用，因此左尾與右尾累積機率相加必定剛好等於 1。
實例演算
假設 \(x = 2\)、\(b = 1\)。比值 \(x/b = 2\)，而 \(e^{-2} \approx 0.135335\)。因此機率密度為 $$f(2) = \frac{1}{1}\cdot 0.135335 = 0.135335$$，左尾累積機率為 \(1 - 0.135335 = 0.864665\)，右尾累積機率則為 \(0.135335\)。驗算：\(0.864665 + 0.135335 = 1.0\)。
常見問題
尺度參數 b 是什麼？它就是指數分配的平均數。b 越大，分配越分散，且在接近零的位置機率密度越低。
如果我手上的是速率參數怎麼辦？若你拿到的是速率 \(\lambda\)，請輸入 \(b = 1/\lambda\)。例如速率 0.5 對應的尺度參數 \(b = 2\)。
當 x = 0 時會怎樣？此時機率密度等於 \(1/b\)，左尾累積機率為 0，右尾累積機率為 1，因為尚未經過任何時間。
