二項分布百分位數計算器｜反求二項累積分布 B(n, p)

試驗次數 n	20
成功機率 p	0.25
目標累積機率	0.3

什麼是二項分布百分位數計算器？

這個工具能反求二項分布 $B(n, p)$ 的累積分布函數（CDF）。只要給定一個目標累積機率，它就會回傳達到該機率時所對應的數值 $x$，也就是百分位數。由於二項分布是離散型分布，計算結果會在相鄰的整數值之間進行連續內插，因此 $x$ 通常不會剛好是整數。

二項分布長條圖，突顯直到某百分位點的累積面積 — 百分位點 $x$ 是累積機率達到目標 $P$ 的最小值。

使用方式

首先選擇累積模式：下尾累積 P 會將你輸入的機率視為 $P(X \le x)$；上尾累積 Q 則視為 $P(X \ge x)$。接著輸入目標累積機率（介於 0 與 1 之間）、試驗次數 $n$，以及單次試驗的成功機率 $p$。計算器隨即會算出百分位數 $x$。

公式說明

機率質量函數為 $$f(x,n,p) = \binom{n}{x}\, p^{x}\,(1-p)^{\,n-x}.$$ 下尾累積分布為 $$P(x) = \sum_{t=0}^{x} f(t).$$ 本工具會計算每個整數 $k$ 的 $F(k)$，找出滿足 $F(k-1) < P \le F(k)$ 的那個區間，再進行內插： $$x = (k-1) + \frac{P - F(k-1)}{F(k) - F(k-1)}.$$ 上尾模式則以互補的尾端機率 $G(k) = P(X \ge k)$ 用相同方式計算。

階梯狀 CDF 曲線，展示在兩個累積值之間插值以求得百分位點 — 反轉 CDF：目標機率落在 $F(k-1)$ 與 $F(k)$ 之間，$x$ 在該區間內插值求得。

實際範例

假設 $n = 20$、$p = 0.25$、下尾累積 $P = 0.3$：由 CDF 可得 $F(3) = 0.225156$ 與 $F(4) = 0.414842$。由於 $0.3$ 落在這個區間內，所以 $$x = 3 + \frac{0.3 - 0.225156}{0.414842 - 0.225156} = 3 + 0.394672 = 3.3947.$$

定義和詞彙表

二項分佈 $B(n,p)$ 模型化 $n$ 次獨立試驗中的成功次數 $X$，每次試驗的成功機率為 $p$。本計算器通過反演其累積分佈函數（CDF）來找到對應於所選累積機率的百分位點 $x$。

試驗次數 $n$: 固定的獨立伯努利試驗次數。必須是正整數。在表單中，這是欄位 trials。
成功機率 $p$: 單次試驗的成功機率，其中 $0 \le p \le 1$。同一值適用於每次試驗。在表單中，這是 successProbability。
機率質量函數（PMF）: 恰好 $k$ 次成功的機率：$P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$，其中 $k = 0,1,\dots,n$。
累積分佈函數（CDF）: PMF 至 $k$ 的累積總和：$F(k)=\sum_{t=0}^{k}\binom{n}{t}p^{t}(1-p)^{n-t}=P(X\le k)$。這是一個非遞減階跃函數，在每個整數處跳躍。
下累積 $P = P(X \le x)$: 成功次數最多為 $x$ 的機率。當您選擇下累積模式（cumulativeMode = lower）時，計算器返回最小的 $x$ 使得 $F(x) \ge P$。
上累積 $Q = P(X \ge x)$: 成功次數至少為 $x$ 的機率。因為支撐集是離散的，$P(X\ge x)=1-F(x-1)$。在上累積模式中，計算器返回最小的 $x$ 使得 $P(X\ge x)\le Q$（等價地，最大的尾部其質量不超過 $Q$）。
百分位點 $x$: 在所要求的累積機率處的成功計數——分位數或反演 CDF 值。例如，第 90 百分位是最小的 $x$ 使得 $F(x)\ge 0.90$。
階跃內的插值: 因為二項分佈的 CDF 是階跃函數，精確的目標機率通常落在兩個整數值 $k-1$ 和 $k$ 之間。線性插值估計連續百分位為 $x \approx (k-1) + \dfrac{P - F(k-1)}{F(k)-F(k-1)}$，其中 $F(k)-F(k-1)=P(X=k)$。整數百分位點本身始終為 $k$；插值只是報告的小數精細化。