Binom Dağılımı Yüzdelik Nokta Hesaplayıcısı nedir?
Bu araç, bir B(n, p) binom dağılımının kümülatif dağılım fonksiyonunu (CDF) tersine çevirir. Hedeflediğiniz kümülatif olasılığı verdiğinizde, bu olasılığa ulaşılan x değerini — yani yüzdelik noktasını — döndürür. Binom dağılımı kesikli (ayrık) olduğundan, sonuç çevredeki tam sayı değerleri arasında sürekli bir ara değerleme olarak elde edilir; bu nedenle x genellikle tam sayı çıkmaz.
Nasıl kullanılır?
Önce bir kümülatif mod seçin: Alt kümülatif P, olasılığınızı \(P(X \le x)\) olarak değerlendirir; Üst kümülatif Q ise \(P(X \ge x)\) olarak ele alır. Ardından hedef kümülatif olasılığı (0 ile 1 arasında), deneme sayısı n'i ve tek bir denemedeki başarı olasılığı p'yi girin. Hesaplayıcı size x yüzdelik noktasını verir.
Formülün açıklaması
Olasılık kütle fonksiyonu \(f(x,n,p) = \binom{n}{x}\,p^{x}\,(1-p)^{n-x}\) şeklindedir. Alt kümülatif dağılım, \(t = 0..x\) için \(f(t)\) değerlerinin toplamıdır:
$$P(x) = \sum f(t)$$Araç, her tam sayı k için \(F(k)\)'yı hesaplar, \(F(k-1) < P \le F(k)\) koşulunu sağlayan adımı bulur ve şu şekilde ara değerleme yapar:
$$x = (k-1) + \frac{P - F(k-1)}{F(k) - F(k-1)}$$Üst modda ise tamamlayıcı kuyruk \(G(k) = P(X \ge k)\) benzer biçimde kullanılır.
Örnek hesaplama
\(n = 20\), \(p = 0.25\) ve alt kümülatif \(P = 0.3\) için: CDF değerleri \(F(3) = 0.225156\) ve \(F(4) = 0.414842\) olur. 0.3 değeri bu adımın içine düştüğü için
$$x = 3 + \frac{0.3 - 0.225156}{0.414842 - 0.225156} = 3 + 0.394672 = 3.3947$$bulunur.
Tanımlar ve Sözlük
Binom dağılımı \(B(n,p)\), her birinin başarı olasılığı \(p\) olan \(n\) bağımsız denemenin başarı sayısı \(X\) modelini temsil eder. Bu hesaplayıcı, seçilen kümülatif olasılığa karşılık gelen yüzdelik nokta \(x\) bulabilmek için kümülatif dağılım fonksiyonunu (CDF) ters çevirir.
- Denemeler \(n\)
- Bağımsız Bernoulli deneme sayısı. Pozitif bir tam sayı olmalıdır. Formda bu, trials alanıdır.
- Başarı olasılığı \(p\)
- Tek bir denemenin başarı olasılığı, \(0 \le p \le 1\) ile. Aynı değer her denemeye uygulanır. Formda bu, successProbability alanıdır.
- Olasılık kütle fonksiyonu (PMF)
- Tam olarak \(k\) başarının olasılığı: \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\) için \(k = 0,1,\dots,n\).
- Kümülatif dağılım fonksiyonu (CDF)
- PMF'nin \(k\) kadar ve dahil olmak üzere olan çalışan toplamı: \(F(k)=\sum_{t=0}^{k}\binom{n}{t}p^{t}(1-p)^{n-t}=P(X\le k)\). Her tam sayıda sıçrayan, azalmayan bir basamak fonksiyonudur.
- Alt kümülatif \(P = P(X \le x)\)
- Başarı sayısının en fazla \(x\) olma olasılığı. Alt modu seçtiğinizde (cumulativeMode = lower), hesaplayıcı \(F(x) \ge P\) ile en küçük \(x\) değerini döndürür.
- Üst kümülatif \(Q = P(X \ge x)\)
- Başarı sayısının en az \(x\) olma olasılığı. Destek ayrık olduğundan, \(P(X\ge x)=1-F(x-1)\). Üst modda hesaplayıcı, \(P(X\ge x)\le Q\) olan en küçük \(x\) değerini döndürür (eşit olarak, kütlesi \(Q\) kadar olmayan en büyük kuyruk).
- Yüzdelik nokta \(x\)
- İstenen kümülatif olasılıktaki başarı sayısı — niceleme veya ters-CDF değeri. Örneğin, 90. yüzdelik, \(F(x)\ge 0.90\) ile en küçük \(x\) değeridir.
- Bir basamak içinde İnterpolasyon
- Binom CDF bir basamak fonksiyonu olduğundan, tam bir hedef olasılık genellikle iki tam sayı değeri \(k-1\) ve \(k\) arasında yer alır. Doğrusal bir interpolasyon, sürekli bir yüzdeliki \(x \approx (k-1) + \dfrac{P - F(k-1)}{F(k)-F(k-1)}\) olarak tahmin eder; burada \(F(k)-F(k-1)=P(X=k)\). Tam sayı yüzdelik noktasının kendisi her zaman \(k\); interpolasyon, raporlama için yalnızca kesirli bir iyileştirmedir.
Sıkça sorulan sorular
x neden tam sayı değil? Binom CDF'si bir basamak (kademeli) fonksiyondur. Anlamlı bir yüzdelik değer döndürebilmek için araç, hedef olasılığınızın bulunduğu adımın içinde doğrusal ara değerleme yapar.
P = 1 olduğunda ne olur? Dağılımın tamamı kapsandığı için x, n'e eşit olur. P = 0 olduğunda ise x sıfırdır.
p = 0 veya p = 1 olursa ne olur? Tüm kütle sırasıyla x = 0 veya x = n noktasında toplanır; yüzdelik nokta da bu dejenere (sınır) durumu yansıtır.
