Калькулятор перцентильной точки биномиального распределения

Число испытаний n	20
Вероятность успеха p	0,25
Целевая накопленная вероятность	0,3

Что делает калькулятор перцентильной точки биномиального распределения?

Этот инструмент обращает интегральную функцию распределения (CDF) биномиального закона B(n, p). По заданной целевой накопленной вероятности он возвращает значение x — перцентильную точку, в которой эта вероятность достигается. Поскольку биномиальное распределение дискретно, результат получается путём непрерывной интерполяции между соседними целыми значениями, поэтому x, как правило, не является целым числом.

Столбчатая диаграмма биномиального распределения с выделенной накопленной областью до точки процентиля — Точка процентиля x — наименьшее значение, при котором накопленная вероятность достигает целевого P.

Как пользоваться калькулятором

Выберите режим накопления: Нижняя накопленная вероятность P трактует вашу вероятность как $P(X \le x)$; Верхняя накопленная вероятность Q — как $P(X \ge x)$. Введите целевую накопленную вероятность (от 0 до 1), число испытаний $n$ и вероятность успеха $p$ в одном испытании. Калькулятор вернёт перцентильную точку $x$.

Разбор формулы

Функция вероятностей задаётся как $$f(x,n,p) = \binom{n}{x}\, p^{x}\,(1-p)^{\,n-x}.$$ Нижняя интегральная функция распределения равна $$P(x) = \sum_{t=0}^{x} f(t).$$ Инструмент вычисляет $F(k)$ для каждого целого $k$, находит шаг, на котором выполняется $F(k-1) < P \le F(k)$, а затем интерполирует: $$x = (k-1) + \frac{P - F(k-1)}{F(k) - F(k-1)}.$$ В верхнем режиме аналогично используется дополнительный «хвост» $G(k) = P(X \ge k)$.

Ступенчатая кривая CDF, показывающая интерполяцию между двумя накопленными значениями для нахождения процентиля — Обращение CDF: целевая вероятность попадает между F(k-1) и F(k), а x интерполируется внутри этого шага.

Пример расчёта

Пусть $n = 20$, $p = 0{,}25$, нижняя накопленная вероятность $P = 0{,}3$. Тогда CDF даёт $F(3) = 0{,}225156$ и $F(4) = 0{,}414842$. Поскольку $0{,}3$ попадает в этот шаг, получаем $$x = 3 + \frac{0{,}3 - 0{,}225156}{0{,}414842 - 0{,}225156} = 3 + 0{,}394672 = 3{,}3947.$$

Частые вопросы

Почему x не целое число? Биномиальная CDF является ступенчатой функцией. Чтобы вернуть осмысленный перцентиль, инструмент выполняет линейную интерполяцию внутри ступени, содержащей вашу целевую вероятность.

Что происходит при P = 1? Покрывается всё распределение, поэтому $x$ равно $n$. При $P = 0$ значение $x$ равно 0.

А если p = 0 или p = 1? Вся вероятностная масса сосредоточена в $x = 0$ или $x = n$ соответственно, и перцентильная точка отражает этот вырожденный случай.

Определения и глоссарий

Биномиальное распределение $B(n,p)$ моделирует количество успехов $X$ в $n$ независимых испытаниях, каждое с вероятностью успеха $p$. Этот калькулятор инвертирует функцию кумулятивного распределения (CDF) для нахождения точки процентиля $x$, которая соответствует выбранной кумулятивной вероятности.

Испытания $n$: Фиксированное количество независимых испытаний Бернулли. Должно быть положительным целым числом. В форме это поле trials.
Вероятность успеха $p$: Вероятность успеха в одном испытании, где $0 \le p \le 1$. Одно и то же значение применяется ко всем испытаниям. В форме это successProbability.
Функция вероятностной массы (PMF): Вероятность ровно $k$ успехов: $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ для $k = 0,1,\dots,n$.
Функция кумулятивного распределения (CDF): Накопленная сумма PMF до и включая $k$: $F(k)=\sum_{t=0}^{k}\binom{n}{t}p^{t}(1-p)^{n-t}=P(X\le k)$. Это неубывающая ступенчатая функция, которая имеет скачки в каждом целом числе.
Нижняя кумулятива $P = P(X \le x)$: Вероятность того, что количество успехов не превышает $x$. Когда вы выбираете нижний режим (cumulativeMode = lower), калькулятор возвращает наименьшее $x$ такое, что $F(x) \ge P$.
Верхняя кумулятива $Q = P(X \ge x)$: Вероятность того, что количество успехов не менее $x$. Поскольку носитель дискретен, $P(X\ge x)=1-F(x-1)$. В верхнем режиме калькулятор возвращает наименьшее $x$ такое, что $P(X\ge x)\le Q$ (эквивалентно наибольший хвост, чья масса не превышает $Q$).
Точка процентиля $x$: Количество успехов при запрашиваемой кумулятивной вероятности — квантиль или значение обратной функции распределения. Например, 90-й процентиль — это наименьшее $x$ такое, что $F(x)\ge 0.90$.
Интерполяция внутри ступени: Поскольку биномиальная CDF является ступенчатой функцией, целевая вероятность обычно падает между двумя целыми значениями $k-1$ и $k$. Линейная интерполяция оценивает непрерывный процентиль как $x \approx (k-1) + \dfrac{P - F(k-1)}{F(k)-F(k-1)}$, где $F(k)-F(k-1)=P(X=k)$. Сам целый процентиль всегда равен $k$; интерполяция — это только дробное уточнение для отчета.