Что делает калькулятор перцентилей распределения Парето?
Этот инструмент вычисляет перцентиль (он же квантиль) распределения Парето I типа. По заданной кумулятивной вероятности и двум параметрам распределения — параметру масштаба a (минимальное значение x_m) и параметру формы b (альфа, индекс хвоста) — калькулятор возвращает значение x, при котором распределение достигает этой вероятности. Распределение Парето широко применяется для описания богатства, доходов, размеров городов, размеров файлов и других величин с «тяжёлым хвостом», подчиняющихся правилу «80/20».
Как пользоваться
Сначала выберите режим кумуляции. Укажите «Нижняя кумулятивная P», если ваша вероятность — это значение функции распределения для нижнего хвоста \(P = \Pr(X \le x)\), или «Верхняя кумулятивная Q», если это вероятность выживания для верхнего хвоста \(Q = \Pr(X > x)\). Введите кумулятивную вероятность от 0 до 1, затем параметр масштаба a (должен быть больше 0) и параметр формы b (должен быть больше 0). Калькулятор приводит ваш ввод к вероятности нижнего хвоста и обращает функцию распределения.
Разбор формулы
Функция распределения Парето I типа для \(x \ge a\) имеет вид
$$P(x) = 1 - \left(\frac{a}{x}\right)^{b}$$Выражая x, получаем
$$x = \text{a} \cdot \left(1 - \text{P}\right)^{-1/\text{b}}$$Если вы задаёте вероятность верхнего хвоста Q, то \(1 - P = Q\), и формула превращается в
$$x = \text{a} \cdot \left(\text{Q}\right)^{-1/\text{b}}$$Поскольку \(a > 0\) и \(0 \le 1 - P \le 1\) при \(b > 0\), результат всегда удовлетворяет условию \(x \ge a\) и попадает в область значений распределения.
Пример расчёта
Рассмотрим случай верхнего хвоста с \(Q = 0{,}1\), \(a = 2\) и \(b = 3\). Тогда
$$x = 2 \cdot (0{,}1)^{-1/3} = 2 \cdot 10^{1/3} = 2 \cdot 2{,}15443 = 4{,}30887$$Проверим: \(Q(x) = (2 / 4{,}30887)^3 \approx 0{,}1\) — результат подтверждается. Для стандартного распределения Парето с \(a = 1\), \(b = 1\) и \(P = 0{,}5\) медиана равна
$$x = \frac{1}{1 - 0{,}5} = 2$$Частые вопросы
Что происходит при P = 1 (или Q = 0)? Квантиль неограничен (стремится к бесконечности), поскольку у распределения Парето бесконечно длинный правый хвост. Калькулятор сообщает об этом вместо деления на ноль.
Что означает результат при P = 0? Квантиль равен a — минимальному значению и левой границе области значений.
В чём разница между масштабом и формой? Параметр масштаба a задаёт минимально возможное значение, а параметр формы b определяет «тяжесть» хвоста: чем меньше b, тем тяжелее хвост и тем больше экстремальные значения.
