ما هي حاسبة مئين توزيع باريتو؟
تحسب هذه الأداة المئين، ويُسمى أيضًا الكمّية، لتوزيع باريتو من النوع الأول. فبمعلومية احتمال تراكمي مستهدف ومعاملي التوزيع — معامل القياس \(a\) (وهو القيمة الدنيا \(x_m\)) ومعامل الشكل \(b\) (ألفا، أي دليل الذيل) — تُرجع القيمة \(x\) التي يبلغ عندها التوزيع ذلك الاحتمال. ويُستخدم توزيع باريتو على نطاق واسع لنمذجة الثروة والدخل وأحجام المدن وأحجام الملفات وغيرها من الظواهر ذات الذيل الثقيل التي تتبع قاعدة "80/20".
طريقة الاستخدام
اختر أولًا نمط الاحتمال التراكمي. حدّد "الاحتمال التراكمي السفلي P" إذا كان احتمالك يمثّل قيمة دالة التوزيع التراكمي للذيل السفلي \(P = \Pr(X \le x)\)، أو "الاحتمال التراكمي العلوي Q" إذا كان يمثّل قيمة دالة البقاء للذيل العلوي \(Q = \Pr(X > x)\). أدخِل الاحتمال التراكمي بقيمة بين 0 و1، ثم معامل القياس \(a\) (يجب أن يكون أكبر من 0) ومعامل الشكل \(b\) (يجب أن يكون أكبر من 0). تقوم الحاسبة بتحويل مدخلاتك إلى احتمال للذيل السفلي ثم تعكس دالة التوزيع التراكمي.
شرح الصيغة
دالة التوزيع التراكمي لباريتو من النوع الأول عند \(x \ge a\) هي \(P(x) = 1 - (a/x)^b\). وبحلّ المعادلة لإيجاد \(x\) نحصل على
$$x = \text{a} \cdot \left(1 - \text{P}\right)^{-1/\text{b}}$$وعندما تُدخِل احتمالًا للذيل العلوي \(Q\)، لاحظ أن \(1 - P = Q\)، فتصبح الصيغة
$$x = \text{a} \cdot \left(\text{Q}\right)^{-1/\text{b}}$$وبما أن \(a > 0\) و\(0 \le 1 - P \le 1\) مع \(b > 0\)، فإن الناتج يحقّق دائمًا \(x \ge a\)، أي يقع ضمن مجال دعم التوزيع.
مثال محلول
لنأخذ حالة الذيل العلوي حيث \(Q = 0.1\) و\(a = 2\) و\(b = 3\). عندئذ
$$x = 2 \cdot (0.1)^{-1/3} = 2 \cdot 10^{1/3} = 2 \cdot 2.15443 = 4.30887$$وللتحقق: \(Q(x) = (2 / 4.30887)^3 \approx 0.1\)، وهو ما يؤكد صحة الناتج. أما في حالة توزيع باريتو القياسي حيث \(a = 1\) و\(b = 1\) و\(P = 0.5\)، فإن الوسيط هو \(x = 1 / (1 - 0.5) = 2\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث عند \(P = 1\) (أو \(Q = 0\))؟ تكون الكمّية غير محدودة (ما لا نهاية)، لأن لتوزيع باريتو ذيلًا أيمن لا نهائي الطول. وتنبّه الحاسبة إلى ذلك بدلًا من القسمة على صفر.
ماذا تعني النتيجة عند \(P = 0\)؟ تساوي الكمّية القيمة \(a\)، وهي القيمة الدنيا والطرف الأيسر لمجال الدعم.
ما الفرق بين القياس والشكل؟ يحدّد معامل القياس \(a\) القيمة الدنيا الممكنة، بينما يتحكّم معامل الشكل \(b\) في مدى ثقل الذيل — فكلما صغُرت قيمة \(b\) كان الذيل أثقل وكانت القيم المتطرفة أكبر.
