حاسبة المئين (الكمّيّة) لتوزيع باريتو المعمّم GPD

أدخل الحساب

نمط التراكم Lower cumulative P (P = F(x)) Upper cumulative Q (Q = 1 - F(x))

الاحتمال التراكمي

معامل الموقع mu

Scale parameter sigma (> 0)

معامل الشكل xi

نتائج

المئين (x)

٠٫٦٩٣١٤٧

قيمة x عند الاحتمال التراكمي المعطى

الاحتمال التراكمي السفلي P المستخدَم	٠٫٥

ما هو مئين توزيع باريتو المعمّم؟

توزيع باريتو المعمّم (GPD) هو توزيع احتمالي متصل يُستخدَم على نطاق واسع في إحصاءات القيم المتطرفة لنمذجة سلوك أطراف البيانات — أي التجاوزات فوق عتبة عالية. والمئين الخاص به (ويُسمّى أيضًا الكمّيّة أو نقطة النسبة المئوية) هو القيمة \(x\) التي يساوي عندها الاحتمال التراكمي \(F(x)\) احتمالًا مختارًا \(P\). تحسب هذه الأداة معكوس دالة التوزيع التراكمي (inverse CDF) باستخدام المعاملات القياسية الثلاثة: معامل الموقع \(\mu\)، ومعامل المقياس \(\sigma\)، ومعامل الشكل \(\xi\). وهي دالة إحصائية بحتة لا ترتبط بأي دولة أو نظام قانوني بعينه.

The percentile x is the value where the lower cumulative probability P equals the shaded area under the GPD density.

كيفية استخدام الحاسبة

اختر أولًا نمط التراكم. حدّد «الاحتمال التراكمي السفلي P» عندما يكون احتمالك \(P = \Pr(X \le x)\). وحدّد «الاحتمال التراكمي العلوي Q» عندما يكون احتمالك هو احتمال البقاء \(Q = \Pr(X > x)\)؛ وفي هذه الحالة تحوّله الأداة داخليًا عبر العلاقة \(P = 1 - Q\). ثم أدخل الاحتمال التراكمي (بين 0 و1)، ومعامل الموقع \(\mu\)، ومعامل المقياس \(\sigma\) (يجب أن يكون أكبر من 0)، ومعامل الشكل \(\xi\). والنتيجة هي المئين \(x\) عند تلك النقطة الاحتمالية.

شرح المعادلة

دالة التوزيع التراكمي لتوزيع GPD هي $$F(x) = 1 - \left(1 + \xi\cdot\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^{-1/\xi}$$ عندما \(\xi \ne 0\)، وتصبح $$F(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$$ عندما \(\xi = 0\). وبعكس المعادلة لإيجاد \(x\) انطلاقًا من احتمال تراكمي سفلي \(P\) نحصل على $$x = \mu + \frac{\sigma}{\xi}\left[(1 - P)^{-\xi} - 1\right]$$ عندما \(\xi \ne 0\)، وعلى $$x = \mu - \sigma\cdot\ln(1 - P)$$ عندما \(\xi = 0\). ولأن القسمة على \(\xi\) تتعذّر عند الصفر، فإن أي قيمة لـ \(|\xi|\) أصغر من \(1\text{e-}12\) تُعامَل على أنها الحالة الأسّية.

اعلان

The quantile function inverts the CDF: read a probability P and trace to the corresponding value x.

مثال محلول

بأخذ النمط = سفلي، وP = 0.9، وmu = 0، وsigma = 1، وxi = 0.5: $$x = \frac{1}{0.5}\cdot\left[(1 - 0.9)^{-0.5} - 1\right] = 2\cdot\left[0.1^{-0.5} - 1\right] = 2\cdot[3.1622777 - 1] = 4.3245553.$$

الأسئلة الشائعة

ماذا يحدث عندما \(\xi = 0\)؟ ينهار توزيع GPD إلى توزيع أسّي مُزاح، وتُحسَب الكمّيّة عندئذٍ باستخدام الصيغة اللوغاريتمية المذكورة أعلاه.

هل يكون النطاق العلوي لا نهائيًا دائمًا؟ لا. إذا كان \(\xi < 0\) فإن النطاق محدود من الأعلى عند \(x = \mu - \sigma/\xi\)؛ وعند \(P = 1\) تعيد الحاسبة هذه النقطة الطرفية المنتهية. أما إذا كان \(\xi \ge 0\) فإن الطرف العلوي غير محدود، وتعطي \(P = 1\) ما لا نهاية موجبة.

لماذا يجب أن يكون \(\sigma\) موجبًا؟ يحدّد معامل المقياس \(\sigma\) مدى انتشار التوزيع؛ وأي قيمة غير موجبة لـ \(\sigma\) تجعل التوزيع غير معرَّف.