Phân vị của phân phối Pareto tổng quát là gì?
Phân phối Pareto tổng quát (GPD) là một phân phối xác suất liên tục được dùng phổ biến trong thống kê giá trị cực trị để mô hình hóa hành vi phần đuôi của dữ liệu — tức là các giá trị vượt ngưỡng cao. Phân vị (còn gọi là lượng phân vị hay điểm phần trăm) chính là giá trị x sao cho xác suất tích lũy F(x) bằng một xác suất P đã chọn. Máy tính này tính hàm phân phối tích lũy nghịch đảo (CDF nghịch đảo) dựa trên ba tham số chuẩn: vị trí mu, tỉ lệ sigma và hình dạng xi. Đây là một hàm thống kê thuần túy và không gắn với quốc gia hay khu vực pháp lý nào.
Cách sử dụng máy tính
Trước tiên hãy chọn chế độ tích lũy. Chọn "Tích lũy dưới P" khi xác suất của bạn là \(P = \Pr(X \le x)\). Chọn "Tích lũy trên Q" khi xác suất của bạn là xác suất sống sót \(Q = \Pr(X > x)\); khi đó công cụ sẽ tự chuyển đổi bằng công thức \(P = 1 - Q\). Tiếp theo, nhập xác suất tích lũy (nằm trong khoảng 0 đến 1), tham số vị trí mu, tham số tỉ lệ sigma (phải lớn hơn 0) và tham số hình dạng xi. Kết quả trả về là phân vị x tại điểm xác suất đó.
Giải thích công thức
Hàm CDF của GPD là $$F(x) = 1 - \left(1 + \xi\cdot\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^{-1/\xi}$$ khi \(\xi \ne 0\), và $$F(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$$ khi \(\xi = 0\). Khi nghịch đảo để tìm x từ xác suất tích lũy dưới P, ta có $$x = \mu + \frac{\sigma}{\xi}\left[(1 - P)^{-\xi} - 1\right]$$ với \(\xi \ne 0\), và $$x = \mu - \sigma\cdot\ln(1 - P)$$ với \(\xi = 0\). Vì không thể chia cho xi khi nó bằng 0 nên mọi giá trị \(|\xi|\) nhỏ hơn \(1\mathrm{e}\text{-}12\) sẽ được xử lý theo trường hợp hàm mũ.
Ví dụ minh họa
Với chế độ = dưới, P = 0,9, mu = 0, sigma = 1, xi = 0,5: $$x = \frac{1}{0{,}5}\cdot\left[(1 - 0{,}9)^{-0{,}5} - 1\right] = 2\cdot\left[0{,}1^{-0{,}5} - 1\right] = 2\cdot[3{,}1622777 - 1] = 4{,}3245553.$$
Câu hỏi thường gặp
Điều gì xảy ra khi xi = 0? Phân phối GPD thu gọn thành phân phối mũ dịch chuyển, và lượng phân vị sẽ dùng công thức logarit nêu trên.
Phần đuôi trên có luôn vô hạn không? Không. Nếu \(\xi < 0\) thì miền giá trị bị chặn trên tại \(x = \mu - \sigma/\xi\); tại P = 1 máy tính sẽ trả về điểm cuối hữu hạn này. Nếu \(\xi \ge 0\) thì phần đuôi trên không bị chặn và P = 1 cho kết quả dương vô cùng.
Tại sao sigma phải là số dương? Tham số tỉ lệ sigma quyết định độ phân tán của phân phối; nếu sigma không dương thì phân phối sẽ không xác định.
