¿Qué es el percentil de la Distribución de Pareto Generalizada?
La Distribución de Pareto Generalizada (GPD, por sus siglas en inglés) es una distribución de probabilidad continua muy utilizada en la estadística de valores extremos para modelar el comportamiento de las colas de los datos, es decir, los excesos por encima de un umbral elevado. Su percentil (también llamado cuantil o punto porcentual) es el valor x para el que la probabilidad acumulada \(F(x)\) es igual a una probabilidad \(P\) elegida. Esta calculadora evalúa la función de distribución acumulada inversa (CDF inversa) a partir de los tres parámetros estándar: la posición \(\mu\), la escala \(\sigma\) y la forma \(\xi\). Se trata de una función puramente estadística y no está ligada a ningún país ni jurisdicción concretos.
Cómo usar la calculadora
Lo primero es elegir el modo acumulado. Selecciona «P acumulada inferior» cuando tu probabilidad sea \(P = \Pr(X \le x)\). Selecciona «Q acumulada superior» cuando tu probabilidad sea la probabilidad de supervivencia \(Q = \Pr(X > x)\); en ese caso la herramienta la convierte internamente mediante \(P = 1 - Q\). A continuación introduce la probabilidad acumulada (entre 0 y 1), la posición \(\mu\), la escala \(\sigma\) (debe ser mayor que 0) y la forma \(\xi\). El resultado es el percentil x correspondiente a ese punto de probabilidad.
La fórmula explicada
La CDF de la GPD es $$F(x) = 1 - \left(1 + \xi\cdot\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^{-1/\xi}$$ cuando \(\xi \ne 0\), y $$F(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$$ cuando \(\xi = 0\). Al despejar x para una probabilidad acumulada inferior \(P\) se obtiene $$x = \mu + \frac{\sigma}{\xi}\left[(1 - P)^{-\xi} - 1\right]$$ cuando \(\xi \ne 0\), y $$x = \mu - \sigma\cdot\ln(1 - P)$$ cuando \(\xi = 0\). Como dividir entre \(\xi\) no es posible cuando vale cero, cualquier valor de \(|\xi|\) inferior a \(\text{1e-12}\) se trata como el caso exponencial.
Ejemplo resuelto
Con modo = inferior, \(P = 0{,}9\), \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\), \(\xi = 0{,}5\): $$x = \frac{1}{0{,}5}\cdot\left[(1 - 0{,}9)^{-0{,}5} - 1\right] = 2\cdot\left[0{,}1^{-0{,}5} - 1\right] = 2\cdot\left[3{,}1622777 - 1\right] = 4{,}3245553.$$
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre cuando \(\xi = 0\)? La GPD se reduce a una distribución exponencial desplazada, y el cuantil se calcula con la fórmula logarítmica anterior.
¿El soporte superior es siempre infinito? No. Si \(\xi < 0\) el soporte está acotado por arriba en \(x = \mu - \sigma/\xi\); cuando \(P = 1\) la calculadora devuelve ese extremo finito. Si \(\xi \ge 0\) la cola superior no tiene límite y \(P = 1\) da como resultado infinito positivo.
¿Por qué \(\sigma\) debe ser positiva? El parámetro de escala \(\sigma\) determina la dispersión de la distribución; un valor de \(\sigma\) nulo o negativo hace que la distribución no esté definida.
