¿Qué es la distribución de Pareto generalizada?
La distribución de Pareto generalizada (GPD, por sus siglas en inglés) es una distribución de probabilidad continua muy utilizada en la teoría de valores extremos para modelar las colas de las distribuciones, los excesos sobre un umbral y los fenómenos de cola pesada en finanzas, hidrología e ingeniería de fiabilidad. Se define mediante tres parámetros: un parámetro de localización \(\mu\), un parámetro de escala \(\sigma\) (que debe ser positivo) y un parámetro de forma \(\xi\) que controla el grosor de la cola. Se trata de una herramienta puramente matemática, sin ningún ámbito regional ni jurisdiccional.
Cómo usar esta calculadora
Elige la función que quieras calcular: la densidad de probabilidad (PDF), la distribución acumulada inferior (CDF) o la función de supervivencia acumulada superior. Introduce los tres parámetros \(\mu\), \(\sigma\) y \(\xi\). A continuación, define la secuencia de \(x\) con un valor inicial, un incremento (paso) y el número de puntos que deseas evaluar. La calculadora genera una tabla de pares \((x, y)\) y un gráfico de líneas, además del valor de la función en el primer \(x\) para una consulta rápida.
La fórmula explicada
Sea \(B = 1 + \xi\,\frac{x - \mu}{\sigma}\). Cuando \(\xi\) no es cero, la densidad es $$f(x) = \frac{1}{\sigma}\,B^{-\frac{1}{\xi} - 1},$$ la CDF es $$P(x) = 1 - B^{-\frac{1}{\xi}}$$ y la función de supervivencia es $$Q(x) = B^{-\frac{1}{\xi}} = 1 - P.$$ Cuando \(\xi\) es igual a cero, la distribución degenera en la forma exponencial: $$f(x) = \frac{1}{\sigma}\exp\!\left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$$ y $$P(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right).$$ El soporte es \(x \ge \mu\) cuando \(\xi \ge 0\), y \(\mu \le x \le \mu - \frac{\sigma}{\xi}\) cuando \(\xi < 0\). Fuera del soporte la densidad vale 0, mientras que \(P\) y \(Q\) quedan fijadas en sus valores límite.
Ejemplo resuelto
Tomemos la CDF con \(\mu = 1\), \(\sigma = 1\), \(\xi = 1\) en \(x = 2\). Entonces \(B = 1 + 1\cdot\frac{2-1}{1} = 2\), por lo que \(P = 1 - 2^{-1} = 0{,}5\). La PDF en ese mismo punto es \(2^{-2} = 0{,}25\) y la función de supervivencia es \(Q = 2^{-1} = 0{,}5\), lo que confirma que \(P + Q = 1\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué sigma debe ser positivo? Sigma es un parámetro de escala que divide varios términos; un valor no positivo carece de sentido matemático, así que la herramienta lo impide.
¿Qué ocurre cuando \(\xi = 0\)? La GPD se convierte en la distribución exponencial. La calculadora cambia automáticamente a las fórmulas exponenciales cuando \(|\xi|\) está por debajo de un épsilon muy pequeño para evitar la división por cero.
¿Puedo recorrer x en sentido descendente? Sí. Usa un incremento (paso) negativo para evaluar los valores de \(x\) en orden decreciente.
