Что такое обобщённое распределение Парето?
Обобщённое распределение Парето (GPD, от англ. Generalized Pareto Distribution) — это непрерывное распределение вероятностей, которое широко применяется в теории экстремальных значений для описания «хвостов» распределений, превышений над заданным порогом и тяжёлохвостых явлений в финансах, гидрологии и теории надёжности. Оно задаётся тремя параметрами: параметром положения \(\mu\), параметром масштаба \(\sigma\) (он должен быть положительным) и параметром формы \(\xi\), который определяет «тяжесть» хвоста. Это чисто математический инструмент — он не привязан к какой-либо стране или правовой системе и применяется одинаково везде.
Как пользоваться калькулятором
Сначала выберите нужную функцию: плотность вероятности (PDF), функцию распределения (CDF) или функцию выживания (верхнюю кумулятивную). Затем введите три параметра — \(\mu\), \(\sigma\) и \(\xi\). После этого задайте последовательность значений \(x\): начальное значение, шаг приращения и количество точек для расчёта. Калькулятор построит таблицу пар \((x, y)\) и линейный график, а также покажет отдельное значение функции в первой точке \(x\) — для быстрой проверки.
Разбор формулы
Обозначим \(B = 1 + \xi\,(x - \mu)/\sigma\). Если \(\xi\) не равно нулю, плотность равна $$f(x) = \frac{1}{\sigma}\,B^{-\frac{1}{\xi} - 1},$$ функция распределения — $$P(x) = 1 - B^{-\frac{1}{\xi}},$$ а функция выживания — $$Q(x) = B^{-\frac{1}{\xi}} = 1 - P.$$ Если же \(\xi = 0\), распределение вырождается в экспоненциальную форму: $$f(x) = \frac{1}{\sigma}\,\exp\!\left(-\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$$ и $$P(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x - \mu}{\sigma}\right).$$ Область определения такова: \(x \ge \mu\) при \(\xi \ge 0\) и \(\mu \le x \le \mu - \sigma/\xi\) при \(\xi < 0\). За пределами этой области плотность равна 0, а \(P\) и \(Q\) принимают свои граничные значения.
Пример расчёта
Возьмём CDF при \(\mu = 1\), \(\sigma = 1\), \(\xi = 1\) в точке \(x = 2\). Тогда $$B = 1 + 1\cdot(2 - 1)/1 = 2,$$ поэтому $$P = 1 - 2^{-1} = 0{,}5.$$ Плотность в той же точке равна \(2^{-2} = 0{,}25\), а функция выживания — \(Q = 2^{-1} = 0{,}5\), что подтверждает равенство \(P + Q = 1\).
Частые вопросы
Почему \(\sigma\) должна быть положительной? \(\sigma\) — это параметр масштаба, на который делятся несколько слагаемых. Неположительное значение математически не определено, поэтому калькулятор не допускает его ввода.
Что происходит при \(\xi = 0\)? Обобщённое распределение Парето превращается в экспоненциальное. Калькулятор автоматически переключается на экспоненциальные формулы, когда \(|\xi|\) оказывается меньше очень малого \(\varepsilon\), чтобы избежать деления на ноль.
Можно ли перебирать \(x\) в обратном порядке? Да. Задайте отрицательный шаг приращения — и значения \(x\) будут рассчитываться по убыванию.
