Qu'est-ce que la loi de Pareto généralisée ?
La loi de Pareto généralisée (GPD, pour Generalized Pareto Distribution) est une loi de probabilité continue très utilisée en théorie des valeurs extrêmes pour modéliser les queues de distribution, les dépassements au-delà d'un seuil et les phénomènes à queue lourde en finance, en hydrologie et en fiabilité. Elle s'appuie sur trois paramètres : un paramètre de position \(\mu\), un paramètre d'échelle \(\sigma\) (qui doit être strictement positif) et un paramètre de forme \(\xi\) qui règle l'épaisseur de la queue. Il s'agit d'un outil purement mathématique, sans rattachement à un pays ni à une réglementation particulière.
Comment utiliser ce calculateur
Sélectionnez d'abord la fonction souhaitée : la densité de probabilité (PDF), la fonction de répartition (CDF) ou la fonction de survie. Renseignez ensuite les trois paramètres \(\mu\), \(\sigma\) et \(\xi\). Définissez enfin la séquence des x à l'aide d'une valeur initiale, d'un pas (incrément) et du nombre de points à évaluer. Le calculateur affiche un tableau de couples (x, y) et un graphique en courbe, ainsi que la valeur de la fonction au premier x pour une lecture rapide.
La formule expliquée
Posons \(B = 1 + \xi\,\frac{x - \mu}{\sigma}\). Lorsque \(\xi\) est non nul, la densité vaut $$f(x) = \frac{1}{\sigma}\,B^{-\frac{1}{\xi} - 1},$$ la fonction de répartition vaut $$P(x) = 1 - B^{-\frac{1}{\xi}}$$ et la fonction de survie vaut $$Q(x) = B^{-\frac{1}{\xi}} = 1 - P.$$ Lorsque \(\xi\) est égal à zéro, la loi se ramène à sa forme exponentielle : $$f(x) = \frac{1}{\sigma}\,\exp\!\left(-\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$$ et $$P(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x - \mu}{\sigma}\right).$$ Le support est \(x \ge \mu\) lorsque \(\xi \ge 0\), et \(\mu \le x \le \mu - \frac{\sigma}{\xi}\) lorsque \(\xi < 0\). En dehors du support, la densité vaut 0, tandis que P et Q sont bornées à leurs valeurs limites.
Exemple résolu
Prenons la fonction de répartition avec \(\mu = 1\), \(\sigma = 1\), \(\xi = 1\) en \(x = 2\). On a alors $$B = 1 + 1 \times \frac{2 - 1}{1} = 2,$$ donc \(P = 1 - 2^{-1} = 0{,}5\). La densité au même point vaut \(2^{-2} = 0{,}25\), et la fonction de survie vaut \(Q = 2^{-1} = 0{,}5\), ce qui confirme bien que \(P + Q = 1\).
FAQ
Pourquoi sigma doit-il être positif ? \(\sigma\) est un paramètre d'échelle qui sert de diviseur dans plusieurs termes ; une valeur nulle ou négative n'a pas de sens mathématique, c'est pourquoi l'outil l'interdit.
Que se passe-t-il quand xi = 0 ? La loi GPD devient une loi exponentielle. Le calculateur bascule automatiquement vers les formules exponentielles dès que \(|\xi|\) passe sous un epsilon minuscule, afin d'éviter toute division par zéro.
Puis-je parcourir les x en sens décroissant ? Oui. Utilisez un pas négatif pour évaluer les valeurs de x dans l'ordre décroissant.
