Genelleştirilmiş Pareto Dağılımı nedir?
Genelleştirilmiş Pareto Dağılımı (GPD), uç değer teorisinde dağılımların kuyruklarını, bir eşiğin üzerindeki aşımları ve finans, hidroloji ile güvenilirlik mühendisliğindeki ağır kuyruklu olguları modellemek için yaygın olarak kullanılan sürekli bir olasılık dağılımıdır. Üç parametreyle tanımlanır: bir konum parametresi \(\mu\), bir ölçek parametresi \(\sigma\) (pozitif olmak zorundadır) ve kuyruğun ağırlığını belirleyen bir şekil parametresi \(\xi\). Bu, herhangi bir bölgesel ya da yasal kapsamı bulunmayan, tamamen matematiksel bir araçtır.
Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?
İstediğiniz fonksiyonu seçin: olasılık yoğunluğu (PDF), alt kümülatif dağılım (CDF) ya da üst kümülatif hayatta kalma fonksiyonu. Üç parametreyi girin: \(\mu\), \(\sigma\) ve \(\xi\). Ardından x dizisini bir başlangıç değeri, bir artış adımı ve değerlendirilecek nokta sayısıyla tanımlayın. Hesaplayıcı, (x, y) çiftlerinden oluşan bir tablo ve bir çizgi grafiği üretir; ayrıca hızlı bir referans olması için ilk x'teki tek fonksiyon değerini de gösterir.
Formülün açıklaması
\(B = 1 + \xi\,\frac{x - \mu}{\sigma}\) olsun. \(\xi\) sıfırdan farklı olduğunda yoğunluk $$f(x) = \frac{1}{\sigma}\,B^{-\frac{1}{\xi} - 1},$$ CDF ise $$P(x) = 1 - B^{-\frac{1}{\xi}}$$ ve hayatta kalma fonksiyonu $$Q(x) = B^{-\frac{1}{\xi}} = 1 - P$$ şeklindedir. \(\xi\) sıfıra eşit olduğunda dağılım üstel forma indirgenir: $$f(x) = \frac{1}{\sigma}\,\exp\!\left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$$ ve $$P(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right).$$ Destek aralığı, \(\xi \ge 0\) iken \(x \ge \mu\); \(\xi < 0\) iken \(\mu \le x \le \mu - \frac{\sigma}{\xi}\) olur. Destek dışında yoğunluk 0'dır; P ve Q ise sınır değerlerine sabitlenir.
Çözümlü örnek
CDF'yi \(\mu = 1\), \(\sigma = 1\), \(\xi = 1\) ile \(x = 2\) noktasında ele alalım. Buradan $$B = 1 + 1\cdot\frac{2-1}{1} = 2$$ olur, dolayısıyla $$P = 1 - 2^{-1} = 0{,}5.$$ Aynı noktada PDF değeri \(2^{-2} = 0{,}25\) ve hayatta kalma fonksiyonu \(Q = 2^{-1} = 0{,}5\) olup, \(P + Q = 1\) eşitliğini doğrular.
Sıkça Sorulan Sorular
Sigma neden pozitif olmak zorunda? Sigma, birçok terimi bölen bir ölçek parametresidir; pozitif olmayan bir değer matematiksel olarak tanımsızdır, bu yüzden araç böyle bir girişe karşı koruma sağlar.
xi = 0 olduğunda ne olur? GPD, üstel dağılıma dönüşür. Hesaplayıcı, sıfıra bölmeyi önlemek için \(|\xi|\) çok küçük bir epsilon değerinin altına düştüğünde otomatik olarak üstel formüllere geçer.
x'i azalan yönde tarayabilir miyim? Evet. x değerlerini azalan sırada değerlendirmek için negatif bir artış adımı kullanın.
