ما هو توزيع باريتو المعمّم؟
توزيع باريتو المعمّم (GPD) هو توزيع احتمالي متصل يُستخدم على نطاق واسع في نظرية القيم القصوى لنمذجة أطراف التوزيعات، وحالات التجاوز فوق عتبة معيّنة، والظواهر ذات الأطراف الثقيلة في مجالات التمويل والهيدرولوجيا وهندسة الموثوقية. يُوصف التوزيع بثلاثة معاملات: معامل الموضع \(\mu\)، ومعامل المقياس \(\sigma\) (الذي يجب أن يكون موجبًا)، ومعامل الشكل \(\xi\) الذي يتحكّم في ثِقل الطرف. وهذه أداة رياضية بحتة لا ترتبط بأي نطاق جغرافي أو قضائي.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر الدالة التي تريد حسابها: كثافة الاحتمال (PDF)، أو التوزيع التراكمي السفلي (CDF)، أو دالة البقاء التراكمية العلوية. أدخِل المعاملات الثلاثة \(\mu\) و\(\sigma\) و\(\xi\). ثم حدِّد سلسلة قيم \(x\) عبر تعيين القيمة الابتدائية، ومقدار الخطوة (الزيادة)، وعدد النقاط المراد تقييمها. تُنتج الحاسبة جدولًا من أزواج \((x, y)\) ورسمًا بيانيًا خطيًا، إضافةً إلى قيمة الدالة الواحدة عند أول قيمة \(x\) للرجوع السريع إليها.
شرح الصيغة
لنفترض أن \(B = 1 + \xi\,\frac{x - \mu}{\sigma}\). عندما لا يساوي \(\xi\) صفرًا، تكون الكثافة $$f(x) = \frac{1}{\sigma}\,B^{-\frac{1}{\xi} - 1},$$ والتوزيع التراكمي $$P(x) = 1 - B^{-\frac{1}{\xi}},$$ ودالة البقاء $$Q(x) = B^{-\frac{1}{\xi}} = 1 - P.$$ أما عندما يساوي \(\xi\) صفرًا، فيؤول التوزيع إلى الصيغة الأسية: $$f(x) = \frac{1}{\sigma}\exp\!\left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$$ و $$P(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right).$$ ويكون مجال التعريف \(x \ge \mu\) عندما \(\xi \ge 0\)، و \(\mu \le x \le \mu - \frac{\sigma}{\xi}\) عندما \(\xi < 0\). وخارج هذا المجال تكون الكثافة صفرًا، بينما تثبت \(P\) و\(Q\) عند قيمتيهما الحدّيتين.
مثال محلول
لنأخذ التوزيع التراكمي (CDF) عند \(\mu = 1\) و\(\sigma = 1\) و\(\xi = 1\) عند \(x = 2\). عندئذٍ \(B = 1 + 1\cdot\frac{2-1}{1} = 2\)، فيكون \(P = 1 - 2^{-1} = 0.5\). وكثافة الاحتمال عند النقطة نفسها هي \(2^{-2} = 0.25\)، ودالة البقاء هي \(Q = 2^{-1} = 0.5\)، ما يؤكّد أن \(P + Q = 1\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون sigma موجبًا؟ \(\sigma\) هو معامل مقياس تُقسَم عليه عدة حدود؛ والقيمة غير الموجبة تكون غير مُعرّفة رياضيًا، لذا تتحقّق الأداة من ذلك وتمنعه.
ماذا يحدث عندما xi = 0؟ يتحوّل توزيع باريتو المعمّم إلى التوزيع الأسي. وتنتقل الحاسبة تلقائيًا إلى الصيغ الأسية عندما تكون \(|\xi|\) أصغر من قيمة إبسلون متناهية الصغر لتجنّب القسمة على صفر.
هل يمكنني مسح قيم x تنازليًا؟ نعم. استخدم مقدار خطوة سالبًا لتقييم قيم \(x\) بترتيب تنازلي.
