सामान्यीकृत पारेटो वितरण क्या है?
सामान्यीकृत पारेटो वितरण (GPD) एक सतत प्रायिकता वितरण है जिसका व्यापक उपयोग चरम मान सिद्धांत (extreme value theory) में होता है। इसकी मदद से वितरणों की पूँछ (tails), किसी सीमा (threshold) से ऊपर के अधिक्रमण, तथा वित्त, जल-विज्ञान और विश्वसनीयता अभियांत्रिकी में दिखने वाली भारी-पूँछ वाली परिघटनाओं का मॉडल बनाया जाता है। इसे तीन प्राचलों से परिभाषित किया जाता है: एक स्थान प्राचल \(\mu\), एक मापक्रम प्राचल \(\sigma\) (जो धनात्मक होना चाहिए), और एक आकार प्राचल \(\xi\) जो पूँछ की भारीपन को नियंत्रित करता है। यह विशुद्ध रूप से एक गणितीय उपकरण है — इसका किसी क्षेत्र या देश से कोई संबंध नहीं है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे पहले वह फ़ंक्शन चुनें जिसकी आपको गणना करनी है: प्रायिकता घनत्व (PDF), निम्न संचयी वितरण (CDF), या उच्च संचयी उत्तरजीविता फ़ंक्शन। इसके बाद तीनों प्राचल \(\mu\), \(\sigma\) और \(\xi\) दर्ज करें। फिर \(x\) की श्रृंखला निर्धारित करें — एक आरंभिक मान, एक चरण वृद्धि (step), और मूल्यांकन के लिए बिंदुओं की संख्या। कैलकुलेटर \((x, y)\) युग्मों की एक तालिका और एक रेखा-ग्राफ बनाता है, साथ ही तुरंत संदर्भ के लिए पहले \(x\) पर एकल फ़ंक्शन मान भी देता है।
सूत्र की व्याख्या
मान लें \(B = 1 + \xi\,\dfrac{x - \mu}{\sigma}\)। जब \(\xi\) शून्य नहीं होता, तो घनत्व $$f(x) = \frac{1}{\sigma}\,B^{-\frac{1}{\xi} - 1}$$ होता है, CDF $$P(x) = 1 - B^{-\frac{1}{\xi}}$$ होता है, और उत्तरजीविता फ़ंक्शन $$Q(x) = B^{-\frac{1}{\xi}} = 1 - P$$ होता है। जब \(\xi\) शून्य के बराबर होता है, तो यह वितरण चरघातांकी (exponential) रूप में बदल जाता है: $$f(x) = \frac{1}{\sigma} \exp\!\left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$$ और $$P(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$$ समर्थन (support) \(\xi \ge 0\) होने पर \(x \ge \mu\) है, और \(\xi < 0\) होने पर \(\mu \le x \le \mu - \dfrac{\sigma}{\xi}\) है। समर्थन के बाहर घनत्व \(0\) होता है, जबकि \(P\) और \(Q\) अपने सीमांत मानों पर स्थिर (clamp) हो जाते हैं।
हल किया गया उदाहरण
\(\mu = 1\), \(\sigma = 1\), \(\xi = 1\) के साथ \(x = 2\) पर CDF लीजिए। तब \(B = 1 + 1\cdot\dfrac{2-1}{1} = 2\), अतः \(P = 1 - 2^{-1} = 0.5\)। उसी बिंदु पर \(\text{PDF} = 2^{-2} = 0.25\) है, और उत्तरजीविता फ़ंक्शन \(Q = 2^{-1} = 0.5\) है, जिससे \(P + Q = 1\) की पुष्टि होती है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(\sigma\) धनात्मक क्यों होना चाहिए? \(\sigma\) एक मापक्रम प्राचल है जो कई पदों को विभाजित करता है; इसका शून्य या ऋणात्मक मान गणितीय रूप से अपरिभाषित होता है, इसलिए यह उपकरण इससे बचाव करता है।
जब \(\xi = 0\) हो तो क्या होता है? तब GPD चरघातांकी वितरण बन जाता है। शून्य से भाग देने से बचने के लिए, जब \(|\xi|\) एक बहुत छोटे एप्सिलॉन से कम होता है तो कैलकुलेटर स्वतः चरघातांकी सूत्रों पर स्विच कर देता है।
क्या मैं \(x\) को घटते क्रम में स्कैन कर सकता हूँ? हाँ। \(x\) के मानों को अवरोही क्रम में मूल्यांकित करने के लिए ऋणात्मक चरण वृद्धि का उपयोग करें।
