पारेटो वितरण कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल पारेटो (टाइप I) वितरण का मूल्यांकन करता है — एक प्रसिद्ध हेवी-टेल पावर-लॉ वितरण, जिसका उपयोग संपत्ति, शहरों के आकार, फ़ाइल साइज़ और मशहूर "80/20 नियम" को मॉडल करने में होता है। जब आप स्केल पैरामीटर xm (न्यूनतम मान) और शेप पैरामीटर alpha देते हैं, तो यह किसी भी बिंदु x पर प्रायिकता घनत्व f, निचली संचयी प्रायिकता (CDF) P और ऊपरी संचयी प्रायिकता (सर्वाइवल फ़ंक्शन) Q की गणना कर देता है। यह पूरी तरह गणित-आधारित सांख्यिकी टूल है, जिसमें किसी देश या क्षेत्र विशेष की कोई धारणा नहीं होती।
इसका उपयोग कैसे करें
सबसे पहले चुनें कि आपको कौन-सा फ़ंक्शन चाहिए (घनत्व, CDF, या सर्वाइवल)। इसके बाद स्केल पैरामीटर xm (0 से बड़ा होना चाहिए), शेप पैरामीटर alpha (0 से बड़ा होना चाहिए), और बिंदु x (x का प्रारंभिक मान) दर्ज करें। वैकल्पिक वृद्धि (इंक्रीमेंट) और दोहराव की संख्या मिलकर ग्राफ़ बनाने के लिए x बिंदुओं की एक श्रृंखला तय करती हैं: $$x_i = \text{startX} + i \times \text{stepX},$$ जहाँ \(i = 0 \ldots \text{loopCount} - 1\)।
फ़ॉर्मूला समझें
जब \(x \ge x_m > 0\) और \(\alpha > 0\) हो:
घनत्व: $$f(x) = \frac{\alpha \cdot x_m^{\alpha}}{x^{\,\alpha+1}}$$ CDF: $$P(x) = 1 - \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$ सर्वाइवल: $$Q(x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$ ध्यान दें कि \(P + Q\) हमेशा 1 के बराबर होता है। जब \(x < x_m\) हो, तो वितरण का दायरा अभी शुरू ही नहीं हुआ होता, इसलिए \(f = 0\), \(P = 0\) और \(Q = 1\) रहता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(x_m = 1\), \(\alpha = 1\), \(x = 2\)। तब $$f = \frac{1 \cdot 1}{2^{2}} = 0.25,$$ $$P = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0.5,$$ और $$Q = \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0.5।$$ जाँचें: \(P + Q = 1.0\)। अब \(x_m = 2\), \(\alpha = 3\), \(x = 4\) के लिए: $$f = \frac{3 \cdot 8}{256} = 0.09375,$$ $$P = 1 - 0.125 = 0.875,$$ $$Q = 0.125।$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
शेप पैरामीटर alpha किस चीज़ को नियंत्रित करता है? \(\alpha\) जितना बड़ा होगा, टेल उतनी ही तेज़ी से घटेगी (यानी कम हेवी); माध्य (mean) तभी सीमित (finite) रहता है जब \(\alpha > 1\) हो।
xm से नीचे घनत्व शून्य क्यों होता है? पारेटो वितरण केवल \(x \ge x_m\) पर ही परिभाषित है, इसलिए स्केल पैरामीटर से नीचे कोई प्रायिकता नहीं होती।
सर्वाइवल फ़ंक्शन क्या है? \(Q(x)\) वह प्रायिकता है कि कोई यादृच्छिक चर (random variable) \(x\) से अधिक हो, यानी यह CDF का पूरक (complementary CDF) है, जो \(1 - P(x)\) के बराबर होता है।
