حاسبة توزيع باريتو

أدخل الحساب

اختيار الدالة الكثافة الاحتمالية f(x, xm, alpha) التوزيع التجميعي الأدنى P(x, xm, alpha) التوزيع التجميعي الأعلى Q(x, xm, alpha)

معامل المقياس xm

معامل الشكل ألفا

القيمة الابتدائية لـ x

مقدار الزيادة

عدد التكرارات

نتائج

قيمة الدالة المختارة

١

محسوبة عند x

الكثافة الاحتمالية f	١
الاحتمال التجميعي الأدنى P	٠
الاحتمال التجميعي الأعلى Q	١

ما هي حاسبة توزيع باريتو؟

تحسب هذه الأداة توزيع باريتو (النوع الأول) — وهو توزيع كلاسيكي ذو ذيل ثقيل يتبع قانون القوى، ويُستخدم لنمذجة توزيع الثروة وأحجام المدن وأحجام الملفات وقاعدة «80/20» الشهيرة. انطلاقًا من معامل المقياس xm (وهو القيمة الدنيا) ومعامل الشكل ألفا، تحسب الأداة الكثافة الاحتمالية f، والاحتمال التجميعي الأدنى (CDF) P، والاحتمال التجميعي الأعلى (دالة البقاء) Q عند أي نقطة x. وهي أداة إحصائية رياضية بحتة لا تعتمد على أي فرضيات إقليمية.

دالة كثافة باريتو \(f(x)\): يبدأ المنحنى عند المقياس \(x_m\) ويتناقص بذيل ثقيل، وأكثر انحدارًا كلما زاد ألفا.

كيفية الاستخدام

اختر الدالة التي تريد حسابها (الكثافة أو الدالة التجميعية أو دالة البقاء). ثم أدخل معامل المقياس xm (يجب أن يكون أكبر من 0)، ومعامل الشكل ألفا (يجب أن يكون أكبر من 0)، والنقطة x (القيمة الابتدائية لـ x). أما الزيادة وعدد التكرارات الاختياريان فيُستخدمان لتوليد سلسلة من نقاط x لرسم منحنى بياني، وفق العلاقة: $$x_i = \text{startX} + i \times \text{stepX}$$ حيث \(i = 0 \;..\; \text{loopCount} - 1\).

شرح المعادلة

عندما يكون \(x \ge x_m > 0\) و ألفا \(> 0\):

الكثافة: $$f(x) = \frac{\alpha\;x_m^{\alpha}}{x^{\,\alpha+1}}$$ الدالة التجميعية: $$P(x) = 1 - \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$ دالة البقاء: $$Q(x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$ ولاحظ أن مجموع \(P + Q\) يساوي 1 دائمًا. وعندما يكون \(x < x_m\) فإننا لم نبلغ مجال الدالة بعد، ولذلك تكون \(f = 0\) و \(P = 0\) و \(Q = 1\).

اعلان

الدالة التراكمية \(P(x)\) ودالة البقاء \(Q(x)\) متكاملتان: \(P(x) + Q(x) = 1\).

مثال محلول

لنفترض أن \(x_m = 1\) و ألفا \(= 1\) و \(x = 2\). عندئذٍ تكون $$f = \frac{1 \cdot 1}{2^{2}} = 0.25,$$ و $$P = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0.5,$$ و $$Q = \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0.5.$$ وللتحقق: \(P + Q = 1.0\). وبالنسبة إلى \(x_m = 2\) و ألفا \(= 3\) و \(x = 4\): تكون $$f = \frac{3 \cdot 8}{256} = 0.09375,$$ و \(P = 1 - 0.125 = 0.875\)، و \(Q = 0.125\).

الأسئلة الشائعة

ماذا يتحكم معامل الشكل ألفا؟ كلما زادت قيمة ألفا، اضمحل الذيل بسرعة أكبر (أي صار أخف)؛ ولا يكون المتوسط منتهيًا إلا عندما يكون ألفا \(> 1\).

لماذا تساوي الكثافة صفرًا دون قيمة xm؟ لأن مجال توزيع باريتو محصور في \(x \ge x_m\)، ومن ثَمَّ لا توجد أي كتلة احتمالية أسفل معامل المقياس.

ما هي دالة البقاء؟ الدالة \(Q(x)\) هي احتمال أن يتجاوز المتغير العشوائي القيمة \(x\)، أي الدالة التجميعية المتممة، وتساوي \(1 - P(x)\).