ما هي حاسبة توزيع باريتو؟
تقوم هذه الأداة بحساب قيم توزيع باريتو من النوع الأول، وهو توزيع احتمالي متصل يُستخدم على نطاق واسع لنمذجة توزيع الثروة، وأحجام المدن، وأحجام الملفات، وغيرها من الظواهر ذات الذيل الثقيل (heavy-tailed). عند إدخال نقطة \(x\)، ومعامل المقياس \(x_m\)، ومعامل الشكل ألفا (وهو مؤشر الذيل)، تُرجع لك الأداة الكثافة الاحتمالية (PDF)، والاحتمال التراكمي الأدنى (الأيسر) \(P(X \le x)\)، والاحتمال التراكمي الأعلى (الأيمن) \(P(X > x)\). إنها أداة رياضية بحتة ولا ترتبط بأي دولة أو نظام محدد.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل النقطة المئينية \(x\)، ومعامل المقياس \(x_m\) (يجب أن يكون أكبر من 0)، ومعامل الشكل ألفا (يجب أن يكون أكبر من 0). تُرجع الحاسبة ثلاث قيم. لاحظ أن مجموع الاحتمالين التراكميين الأدنى والأعلى يساوي دائمًا 1، وهذه طريقة عملية للتحقق من صحة النتائج.
شرح المعادلة
مجال توزيع باريتو هو \(x \ge x_m\). عندما يكون \(x \ge x_m\)، تكون دالة الكثافة
$$f(x) = \frac{\alpha\;x_m^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}$$وتكون دالة التوزيع التراكمي
$$F(x) = 1 - \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$أما دالة البقاء فهي
$$Q(x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$وعندما يكون \(x\) أقل من \(x_m\)، يقع المتغير خارج مجاله، فتكون \(f(x) = 0\) و\(F(x) = 0\) و\(Q(x) = 1\). كلما كبرت قيمة ألفا، أصبح الذيل أخف وتناقص احتمال ظهور القيم الكبيرة بسرعة أكبر.
مثال محلول
لنأخذ \(x = 2\) و\(x_m = 1\) وألفا \(= 1\). بما أن \(2 \ge 1\)، نستخدم الفرع الفعّال من المعادلة. النسبة \(x_m/x = 0.5\). إذن
$$f(2) = \frac{1 \cdot 1}{2^2} = 0.25$$و
$$F(2) = 1 - 0.5 = 0.5$$و\(Q(2) = 0.5\). وللتحقق: \(0.5 + 0.5 = 1.0\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يعني معامل الشكل ألفا؟ هو مؤشر الذيل: فكلما صغرت قيمة ألفا كان الذيل أثقل (أي احتمال أكبر لظهور قيم كبيرة متطرفة)، وكلما كبرت كان الذيل أخف.
لماذا تكون الكثافة صفرًا تحت قيمة xm؟ لأن توزيع باريتو من النوع الأول معرّف فقط عندما يكون \(x \ge x_m\)؛ فمعامل المقياس يمثل أصغر قيمة ممكنة للمتغير.
هل للتوزيع متوسط محدود؟ يوجد المتوسط فقط عندما تكون ألفا أكبر من 1، ويوجد التباين فقط عندما تكون ألفا أكبر من 2.
