帕累托分布计算器是什么？
本工具用于计算帕累托 I 型分布（Pareto Type I）的相关数值。它是一种连续型概率分布，常用于刻画财富分布、城市人口规模、文件大小等具有「重尾」特征的现象。只要给定位置点 \(x\)、尺度参数 \(x_m\) 和形状参数 \(\alpha\)（即尾部指数），即可得到概率密度（PDF）、下侧（左侧）累积概率 \(P(X \le x)\)，以及上侧（右侧）累积概率 \(P(X > x)\)。这是一款纯数学工具，不针对任何特定国家或地区。
使用方法
依次输入分位点 \(x\)、尺度参数 \(x_m\)（必须大于 0）以及形状参数 \(\alpha\)（必须大于 0）。计算器会返回三个结果。其中下侧与上侧累积概率之和恒等于 1，可以作为一个方便的验算依据。
公式解析
帕累托分布的取值范围为 \(x \ge x_m\)。当 \(x \ge x_m\) 时，概率密度为 $$f(x) = \frac{\alpha\;x_m^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}$$ 累积分布函数为 $$F(x) = 1 - \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$ 生存函数为 $$Q(x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$ 当 \(x\) 小于 \(x_m\) 时，该取值已超出分布的定义域，因此 \(f(x) = 0\)、\(F(x) = 0\)、\(Q(x) = 1\)。\(\alpha\) 越大，尾部越「轻」，出现极大值的概率衰减得越快。
计算示例
设 \(x = 2\)，\(x_m = 1\)，\(\alpha = 1\)。由于 2 不小于 1，因此采用有效分支计算。比值 \(x_m/x = 0.5\)，于是 $$f(2) = \frac{1 \cdot 1}{2^2} = 0.25$$ $$F(2) = 1 - 0.5 = 0.5$$ $$Q(2) = 0.5$$ 验算：\(0.5 + 0.5 = 1.0\)。
常见问题
形状参数 \(\alpha\) 代表什么？它就是尾部指数：\(\alpha\) 越小，尾部越「重」（出现极端大值的可能性越高）；\(\alpha\) 越大，尾部越「轻」。
为什么 \(x\) 小于 \(x_m\) 时密度为 0？帕累托 I 型分布仅在 \(x \ge x_m\) 时有定义，尺度参数 \(x_m\) 正是该随机变量可能取到的最小值。
该分布有有限的均值吗？只有当 \(\alpha\) 大于 1 时均值才存在；只有当 \(\alpha\) 大于 2 时方差才存在。
