¿Qué es la calculadora de la distribución de Pareto?
Esta herramienta evalúa la distribución de Pareto tipo I, una distribución de probabilidad continua muy utilizada para modelar la riqueza, el tamaño de las ciudades, el tamaño de los archivos y otros fenómenos de cola pesada. A partir de un punto x, un parámetro de escala xm y un parámetro de forma alfa (el índice de cola), devuelve la densidad de probabilidad (PDF), la probabilidad acumulada inferior (izquierda) \(P(X \le x)\) y la probabilidad acumulada superior (derecha) \(P(X > x)\). Es una herramienta puramente matemática y no está vinculada a ningún país en concreto.
Cómo utilizarla
Introduce el punto percentil x, el parámetro de escala xm (debe ser mayor que 0) y el parámetro de forma alfa (debe ser mayor que 0). La calculadora devuelve tres valores. Las probabilidades acumuladas inferior y superior siempre suman 1, lo que sirve como práctica comprobación de coherencia.
La fórmula explicada
La distribución de Pareto está definida para x ≥ xm. Cuando x ≥ xm, la densidad es
$$f(x) = \frac{\alpha\;x_m^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}$$la función de distribución acumulada (CDF) es
$$F(x) = 1 - \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$y la función de supervivencia es
$$Q(x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$Para valores de x por debajo de xm, la variable queda fuera de su dominio, de modo que \(f(x) = 0\), \(F(x) = 0\) y \(Q(x) = 1\). Un alfa mayor implica una cola más ligera y una caída más rápida de la probabilidad de valores grandes.
Ejemplo resuelto
Tomemos x = 2, xm = 1, alfa = 1. Como 2 es al menos 1, aplicamos la rama activa. El cociente \(x_m/x = 0{,}5\). Entonces
$$f(2) = \frac{1 \cdot 1}{2^2} = 0{,}25$$$$F(2) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$$$$Q(2) = 0{,}5$$Comprobación: \(0{,}5 + 0{,}5 = 1{,}0\).
Preguntas frecuentes
¿Qué significa el parámetro de forma alfa? Es el índice de cola: un alfa más pequeño produce una cola más pesada (más valores extremos grandes), mientras que un alfa más grande da una cola más ligera.
¿Por qué la densidad es 0 por debajo de xm? La distribución de Pareto tipo I solo está definida para x ≥ xm; el parámetro de escala es el valor mínimo posible de la variable.
¿La distribución tiene media finita? La media existe únicamente cuando alfa es mayor que 1; la varianza existe solo cuando alfa es mayor que 2.
